直线与圆锥曲线综合解题方法的几点探讨

许光安

摘 要：圆锥曲线是高中数学重要内容，它体现了解析方法和代数方法在刻画平面曲线方面的强大作用，然而，这部分内容对学生各方面能力要求较高，学生惧怕综合题和繁杂计算，本文就从解决此类问题，着重介绍了涉及直线与圆锥曲线综合题的解题方法及策略。

关键词：圆锥曲线 直线 交点 中点弦 定值

圆锥曲线综合题在高考中多以难题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定、弦长、最值问题等，突出考查数形结合、分类讨论、函数与方程等思想方法，要求考生分析和解决问题及计算能力较高，有利于选拔的功能。因此，许多学生对做此题心存余悸，不敢輕易下笔，甚至完全放弃，师生深感遗憾，为了让自己在教学中这种被动的局面有所扭转，更好的把握住圆锥曲线的相关问题，结合自己多年的教学实践，从以下几个方面进行了探讨：

一、直线与圆锥曲线的交点问题的探讨：

直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程联立，将直线L的方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程f（x，y）=0，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，如消去y后，得ax+bx+c=0（1）若a=0，当曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐近线平行与圆锥曲线只有一个交点，当直线L与双曲线的渐近线重合时，无交点；当曲线是抛物线时，直线L与抛物线对称轴平行（重合），此时直线L与抛物线只有一个交点。（2）若a0， =b2-4ac，①>0时，直线与圆锥曲线有两个交点；②=0时，直线与圆锥曲线只有一个交点；③<0时，直线与圆锥曲线没有交点。只有一个公共点时，未必相切，如抛物线与平行（重合）于其对称轴的直线，只有一个公共点，但不相切，而是相交。直线与圆锥曲线的位置关系，分析时注重函数、方程、判别式法、代点法、数形结合等数学方法的培养。

椭圆、双曲线、抛物线是三种外型上差异很大的几何图形，本质上却有统一的背景和定义，都是平面截圆锥得到的截口曲线；都是平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值不同就形成了不同的曲线.直线与圆锥曲线综合问题是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材。

参考文献

[1]张留杰；童嘉森；与圆锥曲线交点弦相 关的一个优美结论[J]；高中数理化；2011年21期。

[2]彭世金；用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系再探[J]；数学通讯；2007年17期。

[3]刘少伟；圆锥曲线的教学探讨；《西南师范大学学报（自然科学版）》；2014年10期。endprint