二项分布要点解读

寇玉琴

二项分布是离散型随机变量中继“两点分布”“超几何分布”后的又一常见的、重要的随机变量的概率分布.其分布的特殊性以及与组合、概率等的综合性，使它成为近几年高考中的高频考点. 本文从二项分布的概念、二项分布的三种常见题型两个大方面出发，列举几个典型范例加以解读，以期帮助读者有效掌握二项分布知识，准确解答二项分布问题.

辨析二项分布模型，正确写出分布列

例1 在一次数学考试中，第[22]题和第[23]题为选做题. 规定每位考生必须且只需在其中选做一题. 设[4]名学生选做每一道题是相互独立的，且选做每道题的概率均为[12].

（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

（2）设这[4]名考生中选做第[22]题的学生个数为[ξ]，求[ξ]的分布列.

解析 （1）设事件[A]表示“甲选做第[22]”，事件[B]表示“乙选做第[22]”，

则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“[AB+AB]，且事件[A，B]相互独立.

故[P（AB+AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）]

[=12×12+（1-12）×（1-12）=12].

（2）由题意知，随机变量[ξ]的可能取值为[0，1，2，3，4，]且[ξ～B（4，12）].

则[P（ξ=k）=Ck4（12）k（1-12）4-k=Ck4（12）4， k=0，1，2，3，4].

故变量[ξ]的分布列为

点评 题目中“[4]名学生选做每一道题是相互独立的，且选做每道题的概率均为[12]”，说明了它是4次独立重复试验，并且每次事件发生的概率都是[12]. 因此它符合二项分布的两个条件，是典型的二项分布模型.

例2 在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有[3]个白球和[2]个黑球，乙箱子里装有[1]个白球和[2]个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出[2]个球，且每次游戏结束后将球放回原箱. 若摸出的白球不少于[2]个，则获奖.

（1）求在一次游戏中摸出[3]个白球的概率；

（2）在两次游戏中，记获奖的次数为[X]，求[X]的分布列.

解析 （1）记“在一次游戏中摸出[3]个白球”为事件[A]，事件[A]的概率为[P（A）]，

则[P（A）=C23C12C25C23=15].

故在一次游戏中摸出3个白球的概率[15].

（2）记“一次游戏获奖”为事件[B]，事件[B]的概率为[P（B）]，

则[P（B）=C23C22+C13C12C12+C23C12C25C23=710].

而获奖次数为[X]的所有可能取值为0，1，2，

由题意知，[X～B（2，710）].

[P（X=0）=310×310=9100]，

[P（X=1）=C12×710×310=2150]，

[P（X=2）=710×710=49100].

则[X]的分布列为

[[X] 0 1 2 [P] [9100] [2150] [49100] ]

点评 “每次游戏结束后将球放回原箱”点明了是有放回地[n]次摸球试验，这是典型的二项分布模型. 值得注意的是，有时超几何分布在产品数量[n]相当大时，也可以近似地看成二项分布.

判断某随机变量是否服从二项分布，要看两点：（1）是否为[n]次独立重复试验，在每次试验中事件[A]发生的概率是否均为[P]；（2）随机变量是否为在这[n]次独立重复试验中某事件发生（不发生）的次数.

掌握二项分布概念，会计算期望和方差

例3 （1）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在[2]次试验中成功次数[X]的均值是 .

（2）一批产品的二等品率为[0.02]，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取[100]次，[X]表示抽到的二等品件数，则[D（X）=] .

解析 （1）由于同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，

所以这次试验成功的概率是[P=1-（12）2=34].

因此在2次试验中成功的次数[X～B（2，34）].

则[E（X）=2×34=32].

（2）由题意知，该事件满足独立重复试验，是一个二項分布模型，其中[X～B（100，0.02）]，[P=0.02，n=100].

则[D（X）=100×0.02×0.98=1.96].

点评 这道题的选材来源于生活，是同学们熟悉的背景，容易入手. 题目中“有放回地抽取”就说明了它是二项分布模型. 另外，本题考查的是二项分布的期望与方差，直接用公式计算比较简单.

明确交汇知识，建立数学模型

例4 近几年来，某地区经常出现雾霾天气，学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间，若有雾霾，则停止组织集体活动；若无雾霾，则组织集体活动. 预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五[5]天的课间操时间出现雾霾的概率是：前[3]天均为[50]%，后[2]天均为[80]%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的.

（1）求未来一周[5]天至少一天停止组织集体活动的概率；

（2）求未来一周[5]天不需要停止组织集体活动的天数[X]的分布列；

（3）用[η]表示该校未来一周[5]天停止组织集体活动的天数，记“函数[f（x）=x2-ηx-1]在区间[（3，5）]上有且只有一个零点”为事件[A]，求事件[A]发生的概率.endprint

解析 （1）未来一周[5]天都组织集体活动的概率是：[P=（12）3（15）2=1200]，

则至少有一天停止组织集体活动的概率是：[1-P=199200].

（2）由题意知，[X]的取值是[0，1，2，3，4，5].

[P（X=0）=225]，

[P（X=1）=（12）3×C12×45×15+C13×（12）3×（45）2=725]，

[P（X=2）=C23×（12）3×（45）2+C13×（12）3×C12×15×45]

[+（12）3×（25）2=73200，]

[P（X=3）=C13×（12）3×（15）2+C23×（12）3×C12×15×45] [+（12）3×（25）2=43200，]

[P（X=4）=C23×（12）3×（15）2+（12）3×C12×15×45=11200]，

[P（X=5）=（12）3×（15）2=1200].

則不需要停止组织集体活动的天数[X]的分布列如下表.

（3）因为函数[f（x）=x2-ηx-1]在区间[（3，5）]上有且只有一个零点，且[0≤η≤5]，

所以[f（3）f（5）<0.]

所以[83<η<245.]

所以[η=3，或η=4.]

所以事件[A]发生的概率为：

[P（A）=C13（12）3×（45）2+C23（12）3×C12×15×45+（12）3×（25）2]

+[（12）3×C1245×15+C23（12）3×（45）2]

[=129200.]

点评 [n]次独立重复试验是相互独立事件的特殊情况.当相互独立事件发生的概率部分相同时，可以用二项分布公式来表达.

例5 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取[16]个零件，并测量其尺寸（单位：cm）. 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布[N（μ，σ2）]. 假设生产状态正常，记[X]表示一天内抽取的[16]个零件中其尺寸在[（μ-3σ，μ+3σ）]之外的零件数，求[P（X≥1）]及[X]的数学期望.

附：若随机变量[Z]服从正态分布[N（μ，σ2）]，则[P（μ-3σ

解析 由题意知，尺寸落在[（μ-3σ，μ+3σ）]之内的概率为[0.9974].

则尺寸落在[（μ-3σ，μ+3σ）]之外的概率为[1-0.9974=0.0026].

因为[P（X=0）=C016（1-0.9974）0×0.997416=0.9592]，

所以[P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408].

则[E（X）=16×0.0026=0.0416].

点评 二项分布与频率分布直方图（或茎叶图）、正态分布、独立性检验等的综合已经成了高考的创新题型与高考一大亮点. 解决二项分布的创新性、交汇性问题，务必要明确交汇知识，正确应用相关知识，建立恰当的数学模型求解.

[练习]

1. 下列说法正确的是________. （填序号）

①某同学投篮的命中率为[0.6]，他[10]次投篮中命中的次数随机变量[X]，[X～B（10，0.6）]；

②某福彩的中奖概率为[P]，某人一次买了[8]张，中奖张数随机变量[X]，[X～B（8，P）]；

③从装有[5]个红球、[5]个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数[X]是随机变量，且[X～B（n，12）].

2. 已知随机变量[X]服从二项分布[Bn，P]，若[EX=30]，[DX=20]，则[P=] .

3. 在等差数列[an]中，[a2=2，a7=-4]，现从[an]的前[10]项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取[3]次. 假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______. （用数字作答）

4. 掷一枚质地均匀的骰子[n]次，设出现[k]次点数为[1]的概率为[Pn（k）]，若[n=20]，则当[Pn（k）]取最大值时，[k]为（ ）

A. [3] B. [4] C. [8] D. [10]

5. 2017年4月9日在湖北省武汉市举行了国际马拉松赛事，赛后某机构用“[10]分制”调查了很多人（包括普通市民、运动员、组织者、志愿者等）对此项赛事的满意度. 现从调查人群中随机抽取[16]名，茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）.

[7 3 0 8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5 ]

（1）指出这组数据的众数和中位数.

（2）若满意度不低于[9.5]分，则称被调查者的满意度为“极满意”. 求从这[16]人中随机选取[3]人，至多有[1]人是“极满意”的概率.

（3）以这[16]人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从被调查群体（人数很多）任选[3]人，记[ξ]表示抽到“极满意”的人数，求[ξ]的分布列及数学期望.

[参考答案]

1. ①② 2. [13] 3. [625] 4. A

5. （1）众数：[8.6]；中位数：[8.75] （2）[121140]

（3）[ξ～B（3，14）] [Eξ]=[0.75]