归纳猜想与类比猜想

摘要：数学的发展离不开猜想，本文主要介绍猜想的两种重要方法，归纳与类比。许多重要定理公式的发现，离不开归纳猜想与类比猜想。

关键词：猜想；归纳；类比；欧拉公式

一、 什么是猜想

猜想是人们根据事物的某些现象对它的本质属性、服从规律、发展趋势或可能结果作出的一种预测性判断。

猜想与数学有着密切的联系，在数学的发展史中有着许许多多的猜想：哥德巴赫猜想、四色猜想、费马猜想等。数学家们通过不断地提出猜想、证明或否定猜想，推动着数学向前发展。

二、 归纳与类比常作为猜想的两种手段

数学的猜想离不开一般的科学方法，如观察与实验、归纳与类比、分析与综合。这里主要阐述归纳和类比这两种主要手段。

（一） 归纳猜想

归纳：是指某类事物的部分对象具有某一属性，而推出该类事物都具有这一属性的推理方法，是从个别认识一般的推理方法。研究事物的个性中包含着共性，从个性可以认识该类事物的共性，归纳法的这一特点给它的应用提供了客观依据，也使得归纳的结果具有某种可靠性。人们用归纳法整理经验资料，并从中得出普遍规律和结论。很多著名定理公式的产生，都是由归纳猜想得出来的。

【例1】欧拉公式（F+V-E=2）

探究凸多面体面数F、棱数E与顶点数V之间的关系。易知，多面体由面、棱和顶点组成。那它们三者之间有什么关系呢？最简单的，我们拿几个熟悉的多面体来具体数一数，探究规律。

三棱锥：面数F=4，顶点数V=4，棱数E=6，F+V-E=2；

四棱锥：面数F=5，顶点数V=5，棱数E=8，F+V-E=2；

三棱柱：面数F=5，顶点数V=6，棱数E=9，F+V-E=2；

五棱锥：面数F=6，顶点数V=6，棱数E=10，F+V-E=2；

四棱柱：面数F=6，顶点数V=8，棱数E=12，F+V-E=2；

五棱柱：面数F=7，顶点数V=10，棱数E=15，F+V-E=2；

……

归纳猜想：F+V-E=2

证明：多面体去掉一个面，将之展开，可以得到一个平面图，这个时候只有面数变了，少了一个面，棱数和顶点数是不变的，证明多面体的F+V-E=2，也即证明平面图形的F+V-E=1。

（1）想象一个平面凸n边形，进行三角形分割（即对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为三角形为止）；

（2）每引进一条对角线，F和E各增加1，而V不变，当完全分割成三角形的时候，F+V-E的值不变，此时有些三角形的一边或两边在该平面图形的边界。

（3）如果某个三角形只有一边是边界，去掉一条棱E，相应的就会减少一个面F，所以F+V-E不变。

（4）如果三角形的两边都在边界上，除去这两条边界，此时棱E减少2，面数F减少1，顶点数减少1，则F+E-V也不变。

（5）不断进行（3）和（4）的操作，最后只剩一个三角形，三角形面数F=1，棱数E=3，顶点数V=3，所以F+E-V=1。

证毕，在任何一个规则球面地图上，用 F记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则 F+V-E=2，这就是欧拉定理，F+V-E=2是空间上的欧拉公式，F+V-E=1是平面上的欧拉公式。

归纳作为一种方法，总结来说，就是从个性认识共性，从特殊认识一般。人们认识事物总是从个别事物開始，再逐步认识一般事物的共同性质，因此归纳法对人类认识范围的扩大具有重大意义。

（二） 类比猜想

类比：类比是在两个或两类事物间进行对比，从中找出若干相同或相似的点后，猜测该两个或两类事物在其他方面也可能存在相同或相似之处，并作出某种判断的推理方法。它在数学的发展中一直发挥着重要作用，类比推理是发现概念、定理、公式和方法的重要手段。人们经常在数与式之间、等式与不等式之间、平面与立体之间、一维与多维之间、低次与高次之间进行种种类比。

【例2】用行列式表示长度、面积、体积

一维：数轴上两个点x1，x2；则长度l=x2-x1；

用行列式表示为l=1x11x2；

二维：平面上的三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）；

这三个点可以构成一个三角形，三角形的面积为S=12！1x1y11x2y21x3y3；

类比推理三维：空间上的四个点（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），（x4，y4，z4）组成一个四面体，四面体的体积V=13！1x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z4。

与归纳相比，类比需要更加丰富的数学功底，包含更多的直觉成分，运用类比法的关键因素是寻求合适的类比对象，并确定它们之间的相同属性，因此有人说，类比就是在两个或两类事物之间求同存异。它要求在客观上双方必须有某些相同或相似之处，当相同或相似的属性越多，运用类比法就越可靠。

三、 结语

归纳、类比作为一般的科学方法，不仅是人们认识数学、发展数学的重要方法，更是人们探索问题、寻求和发现真理的重要方法。归纳、类比是学习数学概念和原理、探索数学结论的重要方法。

现代教育目的观要求我们培养具有创造精神和实践能力的智能型、创新型人才，因此，注重归纳、类比方法的教与学，对真正地理解数学和培养创造能力，都是极其重要的。

参考文献：

[1]钱佩玲.中学数学思想方法[M].北京师范大学出版社，2001.

[2]陈兆华，费忍允.欧拉公式的证明与应用[J].数学通报，2005.

[3]向长福.从几个著名数学猜想谈数学猜想的方法[J].科教导刊，2010.

作者简介：

吴晓琼，广东省深圳市，深圳大学数学与统计学院。endprint