浅析一道大学自主招生力学试题的原参考解答

杨金燕+龙飘

杨金燕龙飘

摘要：一道大学自主招生试题原参考解答在计算功时并未明确指出所针对的参照系，但从功的计算结果来分析可知参照系有两种可能的情况：其一、f1、f2做的功均以传送带为参照系；其二、f1做的功以传送带为参照系，f2做的功以地面为参照系。然而，事实上在中学物理计算功时，当题目没有明确指定是针对何种参照系时一般就是默认以地面为参照系；而在运用动能定理、功能原理解题时必须是针对同一选定的惯性参照系来计算外力对各质点的功。

关键词：参照系；做功；力学试题

为了方便读者，现将2003年上海交大自主招生的一道试题及原参考解答转录于下：

试题：如图1所示，在水平地面xOy上有一沿x正方向做匀速运动的传送带，运动速度为v1，传送带上有一质量为m的正方形物体随传送带一起运动，当物体运动到yOz平面时遇到一阻挡板C，阻止其继续向x正方向运动。设物体与传送带间的摩擦因素为μ1，与挡板之间的摩擦因素为μ2。此时若要使物体沿y正方向以匀速v2运动，问：

（1） 沿y方向所加外力为多少？

（2） 若物体沿y方向运动了一段时间t，则在此期间摩擦力所做的功为多少？

图1

图2

原参考解答：（1）物体对皮带的速度如图2所示，f1为皮带给物体的摩擦力，f2为挡板给物体的摩擦力，而

f1=μ1mg，N=f1sinθ，

f2=μ2N=μ2f1sinθ。

其中sinθ=v1v21+v22，cosθ=v2v21+v22。故

F=f2+f1cosθ=mgμ1（v1μ2+v2）v21+v22。

（2） Wf=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t=-mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

笔者认为，题目第（2）问的原参考解答在计算功时参照系选取问题上考虑欠妥，本文对此予以分析。

原解答的过程叙述十分简单，计算功时并未明确指出所针对的参照系。但从功的计算结果“Wf=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t”来看，在计算功时所针对的参照系有两种可能的情况：其一、f1、 f2做的功均以传送带为参照系；其二、f1做的功以传送带作为参照系，f2做的功以地面作为参照系。因为在f1做功项“-f1（v2t/cosθ）”中，v2t/cosθ只能理解為以传送带为参照系得到的位移，而在f2的做功项“-f2v2t”中，v2t既可以理解为是以地面为参照系得到的位移，也可以理解为是以传送带为参照系的位移通过正交分解后得到的沿f2方向的分位移。

然而，笔者认为在计算功时对参照系的上述两种理解均是欠妥的。众所周知，中学物理在计算功时限于中学物理的特点并没有强调参照系问题，在一般情况下如果题目没明确指定是针对何种参照系，则往往就是默认以地面为参照系的。而在计算几个力对同一质点的做功量时，一般是不需要对每个力各自选定参照系来计算每个力对质点所做的功的——因为在中学物理中计算功的目的一般是为了进一步利用动能定理、功能原理等功能关系来处理问题，所以计算各个力对质点的做功量时如果题目没有明确指定不同力所针对的参照系，则在中学物理中一般也默认的是针对同一惯性参照系来计算所有外力对一个质点或每个质点的功。由于在原题题目中没有明确指定计算功的参照系，所以在解答中就应该以地面为参照系，计算所有外力对物体所做的功，但原题解却并非如此。

为了使得原题第（2）问可解且使解答符合原题的本意，笔者认为可将该题第（2）问作如下修改：

或者改为：若物体沿y方向运动了一段时间t，则在此期间相对传送带物体受到的摩擦力所做的功为多少？

此时，f1、f2做的功均以传送带为参照系。根据相对运动的位移关系有

v→2t=v→t+v→1t。

由图二中位移的矢量关系，可得此时物体相对传送带为参照系的位移为

vt=v2t/cosθ。

故摩擦力做功为

Wf=-f1（vt）-f2（vt）cosθ=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t=-mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

或者改为：若物体沿y方向运动了一段时间t，则在此期间摩擦生热为多少？

此时，物体与传送带的摩擦生热量等于物体所受传送带施加的摩擦力相对传送带做功的绝对值，物体与地面的摩擦产生热量则等于物体所受地面施加的摩擦力相对地面做功的绝对值。同样根据图二中位移的矢量关系不难分别求得这些做功量，进而便得到总的摩擦生热量为

Q=f1（v2t/cosθ）+f2v2t=mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

作者简介：

杨金燕，龙飘，四川省南充市，西华师范大学物理与空间科学学院。endprint