初中数学易错点教学应用的探索

摘要：分析初中学生数学易错点及其原因，在教学实践中，将学生易错点为转化为教学资源，成为课堂教学重点、反思学生的生长点和唤醒学生思维的切入点，并提出提前干预的措施。

关键词：初中数学；易错点；干预措施

一、 初中数学易错题的基本成因

1. 概念干扰及模糊引起的错题

数学概念是运算、推理、证明的依据，如果把正确理解概念作为第一台阶，那么应用数学概念解题可以说是第二台阶，概念理解不准确往往是解题错误的直接原因。学生在进行数学新概念的学习之前，已经在日常生活中总结经验，实验观察，学习了一些经验性的知识。在学习小学数学的过程中，也获得了一些与新知识点概念相近的知识。一些学生理解能力较差，很容易把掌握的知识点和学习的新知识点混淆在一起，造成思维上的干扰。

【例1】下列说法正确的是（）

A. 直径不是圆的弦

B. 长度相等的弧是等弧

C. 半径相等的圆是同圆或等圆

D. 优弧比劣弧大

此题学生容易混淆圆的相关基本概念，容易选B和D，正确理解弦、弧、等圆、等弧等有关概念是解决本题的关键。解题时要弄清以下几点：（1）凡是直径都是弦，但是弦不一定是直径。（2）等弧的定义的前提是“在同圆或者等圆中”。（3）只有在同圆或等圆中“优弧比等弧大”。

【例2】如图，C是线段AB上一点，在AB的同侧作等边三角形ADC和等边三角形BCE，你能用旋转的知识判断线段AE与线段DB是否相等吗？

图形旋转时，旋转中心、旋转方向、旋转角三个要素缺一不可，但在三个要素中最容易忽略的往往是旋转方向，旋转方向不同，得到的图形也不同，容易造成解题错误。

2. 审题不仔细、不能正确理解题意引起的错题

这是学生错误原因最普遍的问题，有时学生答题慌张根本没弄清题目中的问题问的是什么导致错误，更多的是对题中关键词不能正确把握或题意理解不透彻。

【例3】一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图所示），那么B点从开始至结束所走过的路径长度是多少？

路径问题尤其是在旋转、翻轉等问题中，一个点所经过的路线往往是一段圆弧，而学生会误认为是一段线段。

3. 忽视隐含条件引起的错题

许多学生在解题时，只着眼于题设中已经给出的明显条件，缺乏挖掘题目中所隐含条件的能力，特别对某些综合性的数学问题，往往因为考虑问题不严密，致使解答出现不完美，因而出错。

【例4】若函数y=mx2+（m+2）x+12m+1的图像与X轴只有一个公共点，则m的值为（）

A. 0B. 0或2

C. 2-或2D. 0，2或-2

错的学生都选C，与X轴只有一个交点学生就直接用△=b2-4ac解出m=2，-2。却忽略了在函数定义中隐含了当m=0时函数有可能是一次函数。

4. 以偏概全引起的错题

许多学生在解题时往往满足于求出一解，尤其有些探究题应该分类讨论，学生存在不会分类，分类不全，从而造成易错。

【例5】如图直线l经过⊙O的圆心，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，P是直线上的一个动点（不与圆心O重合），直线CP与⊙O相交于点，是否存在点P，使得QP=QO？若存在，请求出相应∠OCP的度数；若不存在，请说明理由。

对于有图的题目学生认为只要算出如图的情况即可，却没有就P是直线上的一个动点进行三种情况分类，并根据题意画出另两种图形。

二、 化学生的易错点为教学资源

1. 学生易错点即课堂教学的重点

在进行初中数学学习之前，很多学生的基础知识掌握情况不同，对数学也有不同的情感体验。理解表达能力不同的学生，数学水平也各不相同。思维方式的不同也会影响到数学的学习效果。所以，在学习的过程中很容易出现错误。老师不能把数学的标准答案作为学生能力的衡量标准。一些老师为了得到正确的答案，接二连三地提问学生，或者干脆把正确答案告知给学生。这样学生自己没有思考，也没有解题的体验。这样学生虽然得到了正确的答案，却没有得到数学能力的培养，也不会有自我学习的能力。不应该对学生的错误避之不及，可以换个角度来思考，学生犯错误也是有价值的。老师应该给学生设置一些能够锻炼思维能力，激发学生好奇心的问题。让学生在解题的过程中，明辨是非，锻炼思维能力。让学生带着强烈的好奇心去探索数学知识，分析数学。

【例6】如关于X的不等式（a+1）x<2，若其解为x<1，那么a的取值范围是。

学生1：先解出x<2a+1，∵x<1，∴X=-1，2a+1>-1，然后不知怎样求a

学生2：2a+1≤1

正确解答：先解出x<2a+1，∵x<1，∴2a+1=1，解得a=1

学生的想法是在x<1的范围内找一个特殊值，从而求出a的取值范围。另一方面看结论认为a的值必须是一个范围而非一个确定值。本题应用方程的思想巧妙地把不等式转化为方程来解。

讲完这题我乘机把另一题抛出来“a为何值，式子4a+16表示正数？”有同学说a为1时，式子4a+16表示正数你认为正确吗？

所以我们要区分a的取值范围和a为何值，避免错误。

由此可知，备好课是上好课的前提，是有效教学的必备条件。教师备课不足，没有针对性会导致学生出现一些错误，也有一些老师由于经验不足对学生易错的地方不能预知，这就需要课题研究者进行集体备课，对备课方案进行研讨，集思广益，取长补短，从而保证最后用的都是最佳的备课方案。

2. 学生的易错点，以及反思的成长点。

学生在数学学习的过程中，如果出现错误，不能只靠老师进行纠正，或反复练习这道题，直到得出正确答案。学生首先就应该进行自我否定，进行反思。在教学的过程中，老师根据学生平时的学习情况，搜集一些容易犯错误的题，并且分析错误的思路，进行整理记录。针对这些易错点，老师可以让学生进行针对性联系。endprint

笔者在教学实践中注重培养学生学会积累的习惯，其中一项重要的举措就是要求每位学生准备一本《数学错题集》，具体操作如下：（1）保留错误：把错误题及原始的解题过程剪下来贴在“纠错本”本子里。（2）错误分析：让学生用自己的简短的语言描述错误的原因。不写“粗心，马虎，不仔细”或“没有看清题目”，而是具体写出是对哪些字词理解不清、哪个知识点理解不够（或不过关）或思维方法不对、对哪个环节没有考虑到位等的错误原因。（3）订正错误：要求学生用红笔把正确的解题过程订正在错解的下方，并在其四周圈上，起到醒目、告诫的作用。（4）解题心得：例如某一种题型，用数型结合的方法解决更方便简单。做几何题时，往往有多种解法。进行因式分解时，必须要做到几步。学生在一开始可能会觉得有些厌倦，但经过长时间的练习，解题后，就会养成自觉的习惯，并在这过程中增加一些自己的风格，例如抄写一些有关数学的故事。

3. 学生易错点，唤醒思维的切入点。

俗话说得好，“人非圣贤，孰能无过”。是人都会犯错误，在数学学习的过程中也是这样，再聪明的学生也不可能不犯错误，老师也不应该强求。老师应该从另一个角度进行思考，错误也是有利用价值的。学生所犯的错误，是学生错误思路的体现，能够代表学生的思维能力，在学生看来，有合理的成分。老师应该从错误的答案中发现教学的价值，引导学生转换思维角度，从自己错误的思维中发现问题，也许学生的解题方法是正确的，只是某一个环节出了问题。老師应该利用学生的错误，引导学生走向正确的解题思维。

【例7】计算2x+2-2x-2

在一次初三数学复习课中发现很多学生做错了，下面是大多数学生错误的解法：

解：原式=2（x-2）-2（x+2）=2x-4-2x-4=-8

显然，解法错了，“张冠李戴”把方程变形搬到计算题上，把分式的化简当作分式方程，乘以（a+1）（a-1）进行去分母。于是教师来一个“顺水推舟，将错就错”，启发学生：刚才很多同学把分式的化简当作分式方程来解，虽然解法错了，但给我们一个启示，若能将该题去掉分母来解，其“解法”确实简洁明快，因此我们能否考虑利用方程来解它呢？于是一个新颖的解法就出来了。

解：设2x+2-2x-2=A

去分母得：2（x-2）-2（x+2）=A（x+2）（x-2）

解得：A=2（x-2）-2（x+2）（x+2）（x-2）=-8（x+2）（x-2）

案例中，要求学生“利用”方程来解，一时打不开思维，课堂就显得比较安静。设为一个字母后，就可以解方程了。现在可以进行去分母，解得这个字母值就是化简的结果，大家也就明白了。教师没有让“错误”溜走，而是让学生的思维再现在大家面前，却发现这“错误”是如此美丽，激活了学生，引发了学生创造性思维的不停涌现。

三、 学生易错点对教学的启示

1. 课前谋划精细化

数学家波利亚说过：“错误中往往孕育着比正常更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法。”所以老师应该利用这些错误，在有可能出现错误的地方设置陷阱。让学生犯错误，进行自我反省，发现错误的地方，锻炼思维能力，寻找正确的解题思路。在一定程度上也可以锻炼学生对于错误的敏感度，通过学生的做题反应，我们能够得知学生思维薄弱的地方，对学生进行针对性教学。这样不仅可以提高学生对错误的警惕，也能减少犯错误的几率。老师在讲解新知识点时，要对可能出现的错误点进行强调，减少学生的错误思维。对于可能出现混淆的地方，老师要单列出来，进行一一讲解，理清学生的思路。

2. 指导学生学会读题。

学生在做题时之所以容易犯错误，有很大一部分原因就是读题理解能力较弱。读题能力代表着学生的理解能力，学生不可能在短时间内提高理解阅读能力，所以老师在平时上课的时候，要注重这方面的锻炼。例如，老师在讲解新知识点时，在黑板上列出例题。先让学生进行读题。很多时候老师为了节省时间，自己读题，讲解给学生。读题的过程也是理解的过程，学生不能和老师一起进行读题，那么学生的注意力也不会集中在题目上。老师在读题的过程中，会发现题目内的重点，和一些关键，这些都是解题的重点。而学生读题能力差，不主动读题，长时间下去，观察能力就会减弱，不能正确地审题。有些时候，学生在课堂上已经听懂了老师的解题思路。在课后作业时，却没办法解出正确的答案，或者花费大量的时间。就是因为读题能力较弱，需要花大量的时间进行审题，有时很难读懂题目。所以老师在进行题型讲解的时候，可以提问学生进行读题。也可以让学生自主读题，引导学生在读题的过程中发现重点，并把容易错误的地方标注出来，这样可以减少错误率。

3. 指导学生反思错题学会方法

出现错误及时记录，最迟也要在当天晚上睡觉前完成。要想想为什么会做错，哪一步出错了，哪个知识点没有把握住，以后应注意什么等。通过反思，找出错误症结，在错题集上写出正解，失误分析，注意事项，知识点简洁归纳和举一反三，以达到彻底消化的效果。

在反思错题的过程中，学会解题的方法。例如，数学的理论概念是固定的，只是在解题的过程中，有不同的运用方法。如果有两道题，性质相同，联系的知识点相似，在做题时很容易出现错误。可以利用类比学习法，在做题的过程中发现每一道题目的本质，把握解题重点，这样才能快速正确解出答案。例如在分式教学中，学生容易混淆分式和分式方程的解法，表现为：

【例8】化简xx-1+1x+2

解：原式=x（x+3）+（x-1）=x2+4x-1

出现这样的错误，原因在于学生把分式中的约分和方程中的去分母混淆了。所以在学习的过程中，要理清思路，发现题目的本质，只有抓住本质，才能正确解题。

4. 暴露潜错题

什么是潜错题？就是指那些最后没错、但在做题的过程中有点拿不准的题目。潜错题比一般的题目更危险，一定要把它揪住，记入错题本。同时也要多反思，在它演变成错题前及时清理。错题的来源不仅仅是考试，更多是平时的练习。因此无论是错题还是潜错题一旦遇到马上记入错题本，不能只重视考试中的错误，而忽视日常学习中出现的问题。

数学学习要注意归纳总结，温故知新，从而做到纵横联系，防微杜渐。要多分析错题出现的原因，比如审题错误或审题不到位，隐含的已知条件没发掘出来；某概念不清，方法不对等不能把所有问题都归为马虎和计算错误，要学会用红笔写在这道题的旁边，让它非常清晰呈现在自己眼前，把正确的解法也写上，在比较中深化理解，实现彻底改正错误的目的。同时在日常学习中，要注意学会把相关知识点串联起来，形成一个整体知识框架，还要经常学会把知识联系起来，由此到彼，举一反三，避免同样的错误，做到防微杜渐，使自己减少错误。

总之，希望学生能够深刻认识错题对数学学习的影响，正确对待错误，善于利用错题的价值，形成良好的错题管理方法。提高自身的数学学习能力，并学会把错题管理意识渗透到其他学科，全面提升整体知识水平。

参考文献：

[1]曹一鸣，张春生.数学教学论[M].北京师范大学出版社，2010.

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社，2006.

作者简介：

张芬娇，浙江省玉环市，玉环市城关第一初级中学。endprint