应用一元二次方程解决“销售问题”之我见

摘 要：一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的重要数学模型，应用这个模型解决“销售问题”，是学生学习的一个难点。本文通过对北师大版数学教材九年级上册第二章第6节第2时的例题分析，通过几个环节：温故知新、例题学习、巩固练习、巩固训练，让学生进一步掌握运用一元二次方程来解决销售的问题。

关键词：一元二次；销售问题；教学过程

虽然学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等，初步感受了方程的模型作用，积累了利用方程解决实际问题的经验，但在解决如下问题时却遇到很大的困难和挑战。

例题：（北师大版数学教材九年级上册第二章第6节第2时）：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

例题分析：本例中涉及学生对进货价、销售价、定价这几个概念的区分与理解，还涉及单利润（即单件利润）、总利润、数量这三个量之间数量关系的熟练掌握，最难的是降价后每天销售数量的准确表示。同时，本题的解法不止一种，不同的设未知数的方法有不同的列法，涉及的解一元二次方程的难度也不同。如此多的难点集中在此例上，我认为不宜直接引用本例上课，应在本例题前为学生搭建好小台阶，让学生一步步理解与掌握，以期达到更好的教学效果。基于此点考虑，特将本课时做出如下设计，请同行指正。

第一环节：温故知新

1. 用适当的方法解方程：（4-2x）（x-3）=-24

2. 天虹商场出售“米奇”牌童装，一件童装的进价为50元，定价为80元。为了扩大销售量，在“十一”期间打8折销售，则一件衣服的利润（即单利润）为14元，如果一共卖出30件，则一共赚了（即总利润）420元。

3. 公式：

（1） 单利润=售价-进价

（2） 总利润=单利润×销售量=（售价-进价）×销售量

设计意图：

应用一元二次方程解决“利润问题”，所列方程多为第1题的形式，学生通过此题可回顾一元二次方程的解法，同时感受先约分化简对解方程带来的便利。“利润问题”与生活息息相关，学生通过生活中的第2个问题充分理解进货价、销售价、定价的概念，同时明确：单利润=售价-进价、总利润=单利润×销售量这两个公式。

第二环节：例题学习

例1 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每天能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每天10000元的销售利润，这种台灯每个应上涨多少元？此时每个台灯的售价（定价）是多少？

解：设上涨了x元。根据题意可列方程为：（40-30+x）（600-10x）=10000

设计意图：学生通过填表格，可充分理解当价格上涨时，单利润如何表示，销售量是如何变化、又是如何表示的，会表示单利润和销售量，自然可表示出总利润，此问题可迎刃而解。

第三环节：巩固练习

练习1 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？（要求：只列方程）

解：设每件降价x元，根据题意可列方程为：（44-x）（20+5x）=1600

设计意图：

通过例1的学习，学生已经理解了“利润问题”三个量之间的等量关系，以及正确表达销售量的方法，初步掌握了解决“利润问题”的方法，通过此练习，巩固解题思路及方法。

第四环节：例题再学

例2 新华商场销售某类冰箱，每台进货价为2500元。市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

学生先借助表格来分析：

解法1：设每台冰箱降价x元，由题意得：（2900-2500-x）8+x50×4=5000

解法2：设降了a个50元，即降了50a元，

根据题意可列方程得：（2900-2500-50a）（8+4a）=5000

解法3：设每台冰箱定价y元，由题意得：（y-2500）（8+2900-y50×4）=5000

設计意图：

解法1：

对于涨价（或降价）不是“1元”的情况，“销售量”的理解与表达是最大的难点，学生往往常把销售量表示成（8+4x）这种错误形式。受例1的启发，多数学生应该可以想到间接设未知数，并能快速列出方程。

解法2：

解法1是学生理解本题的根本，当学生正确地理解并能写出销售量8+x50×4时，难点即可突破。但不能回避的一个问题是：解法1所得到的方程：（2900-2500-x）8+x50×4=5000，数据大，并含有大分母，解方程很难，因此可以引导学生理解销售量的变化是“以50为单位”变化的，若“设降了50a元”，得到的方程易列、好解，是个很好的选择。

解法3：

有些学生选择直接设未知数，对此题来说，在表达销售量时的难度甚至超过了解法1，而且解方程也很复杂、难算。但学生的思维的方向与思维习惯不可能“千人一面”，所以课堂上也可根据情况引导学生从不同的方向思维，培养学生思维的深度和广度，为以后的此类问题的学习打下良好的基础。

第五环节：巩固训练

1. 某超市在服装柜销售中发现：童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。趋近“六一”儿童节的时候，超市决定采取适当的措施，提高销售量，增加盈利，减少库存，后经市场调查发现，如果每件童装降价4元，平均每天可多销售8件。要想平均每天的销售利润为1200元，每件童装应降价多少？

解：设每件童装应降价x元。

练习2 某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，则每天可销售200件，现在采取提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就相应减少10件。要使每天获得利润700元，请你帮助确定售价。

解：设涨价x元，根据题意，得：（10+x-8）200-x0.5×10=700

设计意图：

练习1仍然设计表格帮助学生分析；练习2不再设计表格，学生可模范例题或练习1自行设计表格或直接分析题目中的数量关系，培养学生的抽象思维能力。通过这两道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

总结：应用方程解决实际问题一直是学生的“软肋”，也是教学的一个难点，学生不但要准确地理解题意，熟练运用等量关系，还要有较强的逻辑思维能力，对学生的要求很高，这就需要在教学中设计合理的教学过程，找到合适的教学方法，为学生铺垫好上升的台阶，让学生一步步形成解应用题的思维方式和解题方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

作者简介：

李相娟，广东省深圳市，广东省深圳市龙岗区福安学校。endprint