浅谈中学数学中数形结合的思想

江敏娟

摘 要：数学教学重在培养学生的思想和数学思维，运用一定的教学和学习策略，让学生首先掌握基本的数学知识、概念和定理，然后再结合抽象逻辑思维和具体图形进行分析，从而相对透彻地理解数学的内涵，以达到增强学生数学思维能力的目的。中学数学学习的基本方法是数形结合思想，这就要求学生把抽象的数学语言与直观的图形相结合，让数与形的信息相互渗透，由此可以开拓学生的解题思路，使數学问题简单化。浅析了中学数学中数形结合的思想，希望能指导教学，从而提高学生学习数学的能力。

关键词：数形结合；中学数学；数学概念

中学数学大纲指出：“通过对数形结合思想的教学，对学生进行对立统一观点的教育。”学生对数形结合思想的认识、理解、掌握和熟练运用是一个有序的进程。这跟一个数学题型和一个数学知识点是不同的，不是通过几节课的学习就可以掌握和运用的。因此要让学生熟练掌握数形结合思想，就必须在数学教学的每一个环节当中都有所突出，例如，从最初的对数学概念的理解，到数学课堂中的讲解，再到解决数学问题时的运用和练习，都渗透着这一思想。只有这样，学生才能在潜移默化中熟悉并灵活使用数形结合思想。

一、什么是数形结合思想

伟大的数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化成一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”由此可见，图象对数学问题的解决有着很大的帮助作用。整个中学数学的学习中始终贯穿着数形结合的思想，数轴与实数的对应关系、反比例及一次、二次函数、指数函数以及三角函数等都体现了数形结合的思想。只有认识了数学思想，才能认识数学知识的本质，只有在培养学生对数学思想的认识上花大功夫，才能让其学会活用知识，达到知识正迁移的效果。数学知识反过来是数学思想的载体，知识要通过思想去理解、去建构，缺乏思想，知识就是空洞的，便失去了意义。然而，在实际的数学教学活动中，在传统的教学思想框架下，很多教师并不重视对数学思想方法的理解和传授，还是注重对知识的教授，从而忽略了讲解知识的过程在对其相应数学思想的渗透，导致学生无法做到对知识的举一反三。由此，数学思想的渗透，可以使学生带着轻松愉悦的心情学习数学，提高学生学习数学的能力，培养其创新精神。由于数形结合问题可供选择的范围较大，对知识的覆盖面广，综合性和逻辑性较强，因此必须培养学生独立探索的能力和创新精神。

二、中学数学中数形结合思想的应用

（一）数学概念教学中的数形结合思想

人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的反映形式就是数学概念，即一种数学思维模式。在教授数学概念时，教师要突出数形结合思想的教学目标，创设相应的数学情境，让学生对所学概念理解透彻。通常教材上给出的概念是比较抽象的，不利于学生进行理解，例如，在讲解圆与圆的位置关系时，外切、相离、相交、内含和内切等五种关系，就是“形”，而教材上给出的以d、r1、r2之间的数量关系来判断两圆的位置关系，就是“数”。对比之下，教材上的讲解就相当抽象，不利于学生理解，也不利于激发其数学学习的兴趣。因此，在上课前，教师可以让学生制作数学知识的模型，上课时，以实物作参照来讲解知识，这样学生就能借助“形”的直观性来研究“数”的特征。

（二）数形结合思想在函数中的应用

函数是中学数学的一个重要部分，很多学生在学习函数时都觉得难度较大，在高考中所占比重也较大。在学习函数时，教师运用数形结合的思想进行教学，能有效地帮助学生理解函数性质定理的相关内容，清晰地分析函数的基本条件，从而让学生明白解题的关键，增强其数学学习的自信心。二次函数的抽象性很强，为此很多学生觉得疑惑不解，做题比较困难。采用图象的方式题目就变得直观易懂多了，二次函数图象能将抽象的函数关系用比较直观的图象表达出来，有助于学生正确写出函数中各点的坐标，从而求出函数的解析式。中学生不太能完全理解数形结合的思想，所以应用起来也不够熟练，大多数情况下，学生选择用数形结合思想来解题，都是因为他们无法理解题目中的函数内容，对于学生来说，用代数法来解决函数问题是他们的习惯。因此，在进行数学函数的教学时，要突出数形结合思想，运用函数直观图象帮助学生深入理解函数概念，强化学生转换函数表达方式的能力。

（三）数形结合思想对学生积极性的培养

数学概念、公式等知识都明显地被写在教材中，学生可以看得见，是为有形的，但是数学思想作为一种隐含在数学知识体系中的东西，是无形的，并且零散地分散在教材内容当中。所以，教师作为教学活动的主要执行者，必须要更新教学理念，要从思想上认识到在数学课堂中渗透数学思想方法的重要性，将掌握数学知识和渗透数学思想方法都作为教学目标，在教学设计中突出数学思想方法。同时教师要认真钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法的渗透方式，在实际教学活动中展开实施。如此一来，学生在学习过程中，受到教师潜移默化的影响，有助于学生明白数形结合思想的重要性，并提高自主学习的意识，养成良好的学习习惯。

三、如何培养学生数形结合思想

（一）例题讲解中，突出数形结合思想

数学知识的教学有两个要点，即明线——数学知识以及暗线——数学思想方法。自新课改以来，数学教材中加入了很多探究活动和讨论及思考的内容，探究性学习和创新型学习成了时下教学的热点话题，新教材更加注重学生学习方式的转变和数学思想的培养。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。由此可以说明，数形结合思想在数学教学中的重要性，因此，在讲解例题时，教师应该先让学生自己寻找解决方法，学生答题时，教师应该查看其解答情况。对于一头雾水、无从下手的学生，教师应该进行逐步引导，先让其画出图象，再引导其根据图象得出题目答案。同时教师应该指出是数形结合的思想，让题目难度降低，并要求学生掌握这种思想并熟练应用。比如说方程和函数：x2+3x+2=0的解是二次函数y=x2+3x+2，y=0时函数与x轴的交点。在解这个题目时，首先学生会用代数法得出方程的解，然后就需要运用数形结合思想，画出函数图像，就能看出函数与x轴的交点，从而写出交点坐标。由此可得，数形结合思想不仅可以降低题目难度，还能提高解题的准确性。

（二）反复训练，不断总结

学生数形结合数学思想的形成，必须经过循序渐进和反复训练，如此一来，学生才能真正地理解和掌握数形结合思想。在教学活动中，教师对数学思想的提炼和概括是十分重要的，教师要有意识地培养学生自我提炼知识要点和概括数学思想方法的能力，同时要在恰当的时间做总结，让学生意识到数学思想的重要作用，这样才能切实落实数学思想方法的渗透。例如，在章节学习结束时，教师应该带领学生集体复习本章节所学数学知识，在复习的过程中师生共同把其中的数形结合思想方法概括出来，这样学生独立分析问题和解决问题的能力都能得到提升。比如在复习二次函数时，在师生共同复习知识点的过程中，教师要让学生明确地认识到：函数解析式中每个参数的变化都会引起函数图象的变化，同时图象的位置也决定着每个参数的大小变化。通过这种复习方式，学生更加了解二次函数中隐含的数形结合思想，在后续学习中，解决数学问题时也会变得更加灵活。

（三）重视数形结合思想在教学中的运用

中学数学不仅仅是让学生掌握一定的数学知识，更要培养学生的数学意识，锻炼其数学思维。中学数学教学的核心任务是培养学生的数学思想和现代思维，这是素质教育的根本要求。中学数学教学方法主要是数形结合，这有助于学生把数学抽象概念、理论和直观的具体图象相结合，达到具体思维和抽象思维的联合。数形结合思想能够引导学生对数学现象进行全面具体的分析，既开拓了学生的视野，同时也让他们学会从不同的层次和角度观察和分析事物，进而学会分析问题和思考问题，从而培养其良好的思维模式。数形结合思想把抽象的数学概念、问题和逻辑与较直观的数学图象结合起来，从而统一了静态思维与动态变化，使得学生能直观地看到问题所在，同时又可以动态地观察和分析深层次的问题，使其学会用变化、发展的眼光看问题。而且，数形结合思想对培养学生的抽象思维和具体概括能力也有很大帮助，这对学生推断能力的发展也有巨大的促进作用，有助于其更好地运用数学解决生产和生活中的实际问题，让数学不再是课本上的知识，而是真正能指导实践的知识体系。

四、数形结合思想应用的原则及途徑

（一）等价原则

等价原则是指将具有代数性质的“数”转化成相应的具有几何性质的“形”，也就是说要解决的问题的形与数之间的对应关系具有一致性。方程或不等式问题经常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，然后借助函数图象和性质解决相关问题。

例如：方程x3=2sinx的跟实数个数为

A.3个 B.5个 C.7个 D.9个

错解：作函数y= 与y=-2sinx的草图。由于两个函数都是奇函数，所以只需要作x>0或x=0的部分，又因为x>8时， >2≥2sinx。所以图形只需取[0，3π]就行了。除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C。

当x= 时，（ ） = >2x>2sin 。由此可得，在（0，2π）内还有一个交点，因此答案为D。

（二）坐标法

中学数学学习的一个转折点就是建立坐标系，从而使初等数学进入数形结合阶段。坐标系主要应用在两个方面，一是将几何问题转化成代数问题，通过得出代数结论从而得到几何结论；二是将代数问题转化成几何问题，通过获得几何结论得到代数结论。

例如：若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y-x≥1，则z=y+2x的最大值等于多少？

分析：首先根据题目条件画出可行域，设z=2x+y，然后利用z的集合意义求最值，则只需要求出直线z=2x+y经过可行域内的点B时，从而得出z的最大值即可。

解：先根据题目条件画出可行域，设z=2x+y，最大值是y轴上的截距的最大值，当直线z=2x+y经过区域内的点B（1，2）时，z最大，最大值是4.

总之，由于几何具有直观性，所以数形结合思想是从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻找解决代数问题的方法。用形象直观的图像来帮助教学活动顺利进行，把抽象问题变得直观一些，使复杂问题变得简单化，从而解决问题，这就是数形结合思想的实质。数形结合思想有其深刻的科学内涵，因此要求教育工作者将其作为中学数学教学中一种必不可少的工具，在日常的教学活动中合理地渗透数形结合思想，借助数轴和坐标系，同时结合教材内容来引导学生解决问题，提升学生解决问题的能力。本文关于中学数学中的数形结合思想做了简要探讨，首先就数形结合思想的含义作一阐述，进而对数形结合思想在中学数学中的应用作一展示，接着提出如何培养中学生的数形结合思想，最后得出培养中学生数形结合思想的原则和途径。通过本文写作，以期对数学教学改革和发展有一定的推动作用。

参考文献：

[1]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，2002.

[2]李冬胜.数学思维方法[M].太原：山西人民出版社，2010.

编辑 温雪莲