浅议高中数学开放性问题的设计

王露莹

开放性问题设计是基础教育领域的一个热点。具体到高中数学，摆在教师面前的就有一系列亟待解決的问题，如：应如何理解数学的开放性问题？它的设计原则是什么？怎样挖掘复习课中的开放性问题？如何开展有效的开放性问题教学？

一、开放性问题的研究进展

目前，对于中小学数学开放性问题的研究还未形成系统，笔者查阅了有关的中文资料，大致概括如下。20世纪90年代，开放性问题教学在我国开始兴起。福建师范大学余文森教授在《试论教学的开放性》一文中提到，开放性是时代的精神特征，而教学的开放性是新课程的基本特征，只有开放的教学，才能焕发师生的生命活力，从而使教学过程真正成为师生生命成长的历程。

自《普通高中数学课程标准（实验）》实施以来，数学开放性问题就以不同的开放程度出现在教材与试卷中；新的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中也提到，教师在教学中应多运用开放性的案例，并对教学内容、教材编写和过程评价提出开放性要求。

二、对数学开放性问题的认识

1.开放性问题的含义

通过对相关资料和文献的查阅，笔者整理了数学开放性问题的概念：开放性问题是相对于条件完备、结论确定的封闭式问题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的，给学生形成了较大认知空间的问题。而数学开放性问题是一种富有教育价值的问题类型，它是为了考查学生应用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，提高学生的数学核心素养。这是一种新的教育理念的具体体现。

2.开放性问题的设计原则

一是恰当切入，自然开放。开放性问题的设计要自然、合理，教学的切入点要把握好，要考虑到学生的“最近发展区”。例如，在对高三年级“三角函数再认识”的内容的延伸，可以从这样一道题目说起。

对此，教师提出了如下开放性问题：如果把条件“在△ABC中”擦去，怎么求A？（会求出无数个A）这让学生由三角形中的解方程问题，延伸到一般的解方程问题。然后，再把A换成x、2换成f（x），此时便有了f（x）=sin 2x+cos 2x。这样的过渡，让学生经历了从特殊到一般、从具体到抽象的过程，并感受到各要素间的关系。然后，教师再提问：看到这样的函数，你们可以设计出什么问题？这样，学生会将接下来的重点放在研究函数的性质上，从而达到了预期的教学目标。

二是入口要宽，核心开放。设计开放性问题时入口要宽，即要照顾到不同层次的学生。只有在开始呈现的问题比较简单，才能使学困生也都参与进来，让更多学生有所体验、有所收获。同时，开放性问题还应是教学中的核心问题，由学生自主探究、合作互助，从而在数学活动中积累更多的数学经验。例如，教师可提出这样的开放性问题：根据函数f（x）=sin 2x+cos 2x，你们可以设计什么样的问题？对此，基础薄弱的学生可以研究简单的问题，如定义域、值域（最值）等；中等学生会利用对称性、五点法画出函数f（x）的图像、零点等；能力更好的学生可以由零点问题延伸到等式、图像变换等问题的讨论。如有的学生设计出这样的问题：求f（x）<0的x的取值集合；说明函数f（x）的图像可由函数f（x）=2sin 2x图像经过怎样的变换而得到。学生对这个最基本但又至关重要的函数性质的认识由简单到复杂，乃至越来越丰富。

三是课后延伸，拓展开放。开放性问题的设计还要注重课后的延伸和拓展。要逐步培养学生发现问题、提出问题的能力。因此，教师应在课后问题中设计一些悬念，以引发学生的问题意识。例如，在“三角函数再认识”的课后，请学生不用常规解法、不求角？渍解答以下问题：已知函数f（x）=sin（2x+？渍），若f（）-f（-）=2，求函数f（x）的单调增区间。

四是联系生活，背景开放。开放性问题的设计要有现实意义和数学背景，如可以设计投资回报问题让学生建立数学模型。

3.如何挖掘复习课中的开放性问题

一是挖掘教材。教师可以挖掘教材中的开放性问题，如当学到三角函数时，对两角和的正弦公式sin（α+β）=sin α cos β+cos α sin β，有的学生会问“为什么不能是sin（α+β）=sin α+sin β”，教师此时不妨让学生找一对“α和β”，使这一等式成立。

二是拓宽学生的时空观。在课堂教学中，教师应给学生留下“自由度”，将课堂内容进行延展，留到课后继续探讨。同时，要重视教材中的实践作业，如给学生布置认识函数的查阅资料的作业。

三是运用变式教学，设计开放性问题。变式教学是对数学问题进行不同角度、不同背景、不同层次、不同情形的变式，以暴露问题的本质，是体现不同知识间内在联系的一种教学设计方法。变式教学能使一题多用，多题重组，通过对问题的延伸，把与这个问题相关的问题研究得十分透彻，以启发学生的思维。例如，针对“三角函数再认识”的下一环节，进行变式设计。请学生思考某个函数式可以由哪些更复杂的式子化简得到，将被化简的相对简单的公式逆向推为更复杂的式子，可以帮助学生进一步完善知识结构。例如：

三、如何开展有效的开放性问题教学

一是开放的思想是开放性问题教学的前提。教师只有先具备了开放的教学思想，才能有意识地提出具有开放性的问题，并在此基础上展开教学，更好地发挥学生的主体地位，满足不同学生的学习需要。

二是要处理好开放与收回的关系。在进行开放性问题的教学时，要处理好“放与收”的辩证关系。如果一味地追求开放，只关注开放性问题的教学结果，满足于结果的多样性，而不关注教学过程，忽视在过程中引导学生思考和发现解决问题的规律，忽视开放以后的归纳、概括、再认识、提升等“收回”的过程，也会损失开放性问题的价值。

总之，无论怎样开放，都是为了更好地收获；每一节课都要让学生有所收获，要让课堂成为学生生命成长的舞台。这才是开放性问题的根本目的，也是学校教育的核心价值。

（责任编辑 郭向和）endprint