对一道三力平衡问题解法的探讨

(陕西省西安中学,陕西 西安 710018)

图1

A．MN上的张力逐渐增大

B．MN上的张力先增大后减小

C．OM上的张力逐渐增大

D．OM上的张力先增大后减小

参考答案：A、D。

1 问题解析

高中阶段求解动态平衡问题常用到解析法、图解法和相似三角形法。其中，相似三角形法适用于三力平衡问题，一个力是恒力另外两个力方向都变化的情况，组成的力的矢量三角形与几何三角形相似。本题虽然也是涉及一个恒力、两个方向变化的力，但是并未给出确定的几何关系，所以不适用于此题。下面主要采用解析法和图解法对本题进行分析。

(1) 解析法——正弦定理

解析：解析法要求对物体进行受力分析，根据平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的关系，通常采用正交分解法。但本题三力所成角度为任意角，用正交分解法得到的方程较为复杂，计算量较大，不易求解。

图2

点评：此题没有采用常规的正交分解法求解力，而是通过解三角形，高中阶段常用正、余弦定理求解三角形的边角关系，根据题设条件选择正弦定理。

(2) 图解法——矢量三角形法

解析：图解法是对研究对象在动态变化过程中进行受力分析，在同一图中作出物体在若干状态下所受力的矢量三角形，由各边长度及角度变化来判断力的变化情况，通常用于求解三力平衡中一个力是恒力、另一个力方向不变的问题。本题虽然有一个力是恒力，但是另外二力方向都在变化，不能采用我们通常所使用的动态三角形。

考虑物体所受的三力构成封闭三角形，因为mg和其对角都是定值，所以当F1、F2变化时，三角形的外接圆始终不变(如图3)。由图3可知，当OM由竖直变为水平时，F1先增大后减小，F2逐渐增大。

图3

点评：动态三角形法是处理三力动态平衡问题的常用解法，相较解析法，其特点是形象直观，适合定性分析的问题，本题情景在高中虽然不常见，但根据重力和其对角都是定值，如果能联想到圆中弦及其圆周角的关系，作出力矢量三角形的外接圆便可迎刃而解。

方法3：图解法——逆向思维法

解析：OM由竖直被拉到水平的过程，可逆向看做OMN保持不动，F1和F2的合力-mg顺时针旋转至垂直于F1的位置，如图4所示，再将mg分解到OM和ON方向上，即可求得F1和F2的大小，由图4易知，F1先增大后减小，F2逐渐增大。

图4

点评：逆向思维法常用于处理运动学问题，此题若采用逆向思维，便成为一道简单的力的分解问题，但是学生不易想到。

当然，本题作为选择题还可以采用特殊值代入法，可取几个特殊的角度和位置进行计算，但由于本题力的变化情况较为复杂，若取特殊值较少，容易遗漏掉某个变化过程，取值过多则计算量太大，若非无计可施，不建议使用。

2 试题变式

图5

可将本题所涉及的问题总结归纳为一种特定的类型：对三力动态平衡问题，若其中一个力是恒力，另外二力所成角度不变，则可采用上述三种方法进行求解，例如以下问题。

变式1：如图5所示，MON为张角为90°的V型光滑支架，小球静止于支架内部，初始时刻支架的NO边处于竖直方向，将支架绕O点顺时针缓慢转动90°的过程中，NO板对小球弹力变化情况为( )。

A. 一直增大____________________B. 一直减小

C. 先增大后减小 D. 先减小后增大

参考答案：A。

图6

变式2：如图6所示，一小球通过两细绳固定在圆环的圆心O位置。已知两绳夹角∠AOB>90°，让圆环在竖直面内顺时针转动，当OA由水平转到竖直位置的过程中，OA的作用力FA和OB的作用力FB的变化情况是( )。

A.FA先增大后减小、FB减小

B.FA先增大后减小、FB先减小后增大

C.FA增大、FB减小

D.FA减小、FB增大

参考答案：C。

3 结语

平衡问题是高中物理中的重要内容，也是高考物理的考查重点，本题所涉及的情景对高中学生来说较为陌生，导致一些学生不知道如何着手处理，这是学生在处理本题时遇到的最大障碍。通过分析发现，该题的处理方法也是从高中处理动态平衡问题的常用方法着手，只是在常用方法的基础上进行了一定的变化，体现出高考对学生推理能力、分析综合能力和运用数学工具解决物理问题等能力的考查，教师在平时教学中要注重物理方法的渗透和学生能力的培养。