通高考 径自来

冯玉娟 牛鹏羽

【摘要】对2013-2017年全国高考数学选择题进行了研究，发现在圆锥曲线的考题中，通径出现的频率很高，俨然成了解析几何中一道亮丽的风景线。本文精选几道高考试题来解之，析之，赏之。

【关键词】圆锥曲線 通径 选择题 案例研究

【基金项目】课题名称：思维导图“秒杀”高考数学选择题的案例研究，课题编号：GS[2016]GHB0280。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）04-0138-01

定义

过圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）的焦点F，作一条直线垂直于它的对称轴，和圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）相交于M﹑N两点，线段MN就叫作圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）的通径。

引理

在椭圆与双曲线中，通径|MN|=；在抛物线中，通径MN=2p。

例1（2013，课标2，文10 ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A， B两点。若AF=3BF，则l的方程为（ ）

A. y=x-1或y=-x+1

B. y=（x-1）或y=-（x-1）

C. y=（x-1）或y=-（x-1）

D. y=（x-1）或y=-（x-1）

解法赏析：由AF=3BF及+=得

AF=4，BF=。

由AF+BF=AB=得sin2α=，所以斜率k=tanα=±，故选C。

例2（2014，课标2，文10 ）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则AB=（ ）

A. B. 6 C. 12 D. 7

解法赏析：由AB=得AB==12，故选C。

例3（2014，课标2，理10 ）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）

A. B. C. D.

解法赏析：S△OAB=S△OAF+S△OBF=OFAFsin30°+OFBFsin30°=OFABsin30°=AB。由AB=得AB==12，所以S△OAB=，故选D。

例4（2015，四川，文7）过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则AB=（ ）

A. B. 2 C. 6 D. 4

解法赏析：因为通径长为==6，而AB比通径略长，故选D。

例5（2016，课标2，文5）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）

A. B. 1 C. D. 2

解法赏析：由通径长2p可知P（1， 2），将点P坐标代入y=得k=2，故选D。

例6（2016，课标2，理11）已知F1，F2是双曲线E：-=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（ ）

A. B. C. D. 2

解法赏析：由sin∠MF1F2==及MF2-MF1=2a得MF1=a，因为通径长为，所以MF1==a，即a2=b2，为等轴双曲线，故选A。

参考文献：

[1]牛鹏羽，冯玉娟.源于通径，归于通径[J].数学通讯，2013（4）（下半月）.

[2]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略（数学）[M].北京：知识出版社，2017.06.

作者简介：

冯玉娟（1983.03-），女，汉族，甘肃省威武市人， 最高学历：本科，职称：中学二级，研究方向：中学数学教学。

牛鹏羽（1984.07-），男，汉族，甘肃省会宁县人，最高学历：本科，职称：中学二级，研究方向：中学数学教学。