设计开放性数学作业 促进学生差异发展

□林 俊

“学生的学习，除了听老师的讲解以外，还要靠反复不断的练习。获取知识需要练习，掌握本领更需要练习。”反映的是 “掌握知识、形成技能”的传统作业设计理念。现实中出现的 “作业布置得多、学生做得苦、教师批改得累”的现象，往往是以理解知识和强化技能为指向的，折射的是教师作业设计理念的落后和作业设计能力的缺失。如何避免机械、重复、单调、乏味的低效作业？练什么、怎么练则是绕不过去的两个核心问题。 “怎么练，练什么内容更有意义，要靠老师来设计。”显然，作业设计教师不可缺席，旁人无法代替！ “教师设计得好，指导得法，学生事半功倍；教师设计得不好，指导不得法，学生事倍功半。”可见，在作业设计中，教师责任重大、责无旁贷。

传统作业内容机械重复，缺乏挑战性；作业形式呆板枯燥，缺乏趣味性；要求统一僵化，缺乏灵活性。这种落后的作业形式降低了学生的热情，固化了学生的思维，压抑了学生的个性，也与数学课程标准“使不同的人在数学上得到不同的发展”理念相悖。因此，新课改背景下的作业设计应以发展学生的数学核心素养为指南，理念可以前卫一点，内容可以开放一点，要求可以灵活一点，设计开放题就是一个很好的切入点。

答案不固定、条件不完备或者策略多样化的习题，称为开放题，它是与封闭题相对的。目前教材中的开放题还不多，教师需进行设计。设计开放题既可以利用陈题改编，又可以通过对现有开放题的加工得到，还可以根据需要自己独立设计。一份优质的数学作业往往能体现教师一定的专业水平和学术水准。

一、设计情境开放的数学作业，促进学生差异发展

学习的最大动力乃是对所学材料的兴趣。小学生受年龄和心理限制，他们喜欢新颖有趣、形式多样和贴近生活的作业。精心选择现实生活中的材料，设计一些包含情境的数学问题，对于激发学生的求知欲，调动学生的学习积极性大有好处。

翻开教材或各种练习册、试卷，计算类似16×79、2790÷90的练习题比比皆是。如此习题，虽然能有效地训练学生 “两位数乘两位数”和 “除数是两位数的除法”的相关技能，但如果经常做这种枯燥的练习，学生就会觉得数学面目可憎，作业索然无味。因此，笔者认为不妨作如下包装、设计：

列竖式计算下面各题，并将计算结果填到等号后，使等式成立，同时将结果填入短文中，使短文信息完整。

722÷38= 121×16= 130÷26=

209×9= 1210÷22= 317×6=

你知道吗？鲁迅是中国伟大的文学家、思想家和革命家。原名周树人，字豫才，浙江绍兴人。___年出身于破落封建家庭。 ___年前往日本学医，后弃医从文。 ____18年____月，首次用笔名 “鲁迅”发表中国现代文学史上第一篇白话小说 《狂人日记》。 ____年10月病逝于上海，终年____岁。

改造后的练习题，有着浓浓的文化味，在巩固数学知识的同时也与语文学科建立了联系。学生要把这6道题的答案：19，1936，5，1881，55，1902填入介绍鲁迅生平的文字中，既要运用过去学习的年月日知识，又要进行合情推理，由此便拓展了学生的知识面，提高了学生的思维能力。这种别出心裁的设计，使学生感到练习有趣而不乏味、有挑战而不简单。

单调、划一的传统作业题型，往往容易引起视觉疲劳，使学生产生消极应付的心理。如果变换一下题型，从形式到内容来个 “大变脸”，就会使人耳目一新，喜闻乐见，最大限度地吸引学生参与。

如：学习 “百分数”后，就可设计题型，让学生在优美诗文中计算百分数问题。

春水春池满，春时春草生，

春人饮春酒，春鸟弄春色。

（1）请朗诵这首诗，看看哪个字出现得最多？

（2）“春”字出现的次数占全诗总字数的百分之几？

（3）课后找一首诗，使某一个字出现的次数至少占10%，然后有感情地朗读。

这个练习没有止于单纯的纸笔计算练习，而是融“百分数”的计算于优美、开放的诗文情境之中，学生既要找诗，又要读诗，还要计算。语、数结合，趣味无穷。海量的资料检索、不同的诗词阅读、具体的数学运算等实践活动形式，大大丰富了学生的学习方式。

再如 “小数加减法”的课后作业，提供了一家快餐店的午餐食谱，同时标明每种食物的蛋白质含量。

（1）根据自己的口味和饭量选餐，并列竖式计算所订饭菜蛋白质的总含量。

（2）营养学家经过一系列调查研究后发现：7~10岁的儿童一顿饭的蛋白质含量大约需要22.5克。把自己选餐中的蛋白质总量和标准比一比，看是高了，还是低了，并计算相差多少。

（3）看到比较结果，想想你以后选餐需要注意什么。

这样的作业，因为与学生的现实生活紧密相连，所以他们兴致很高；因为与学生的营养状况息息相关，他们都想知道自己喜欢的饭菜蛋白质含量是多少，是否符合规定的标准，所以他们迫不及待地想做。这样的作业自然增强了学生合理膳食的意识，将枯燥的计算与情境相融，很好地调动了学生的学习热情。

二、设计条件开放的数学作业，促进学生差异发展

数学教学的根本目的是教会学生思考，而设计具有低起点、宽入口、有挑战的开放题，能够在传授知识、训练技能的同时，更好地渗透数学思想方法。设计一些具有现实意义、思考价值的开放题——条件开放题、问题开放题、结论开放题及策略开放题，可以面对不同学生的学习现实，促进不同学生的适度提升。条件开放题可以从改编现有封闭题的条件得到，十分方便、快捷。

如：三名选手跳远的成绩：A.3.84米；B.4.01米；C.3.□9米。

（1）谁是第一名，谁是第二名？

（2）如果A是第二名，□里可以填哪些？

（3）如果C是第二名，□里可以填哪些数？

此题由封闭题 “三名选手跳远的成绩：A.3.84米；B.4.01米；C.3.89米。谁是第一名，谁是第二名？”改编而来。把封闭题的一个条件3.89的十分位留白，任学生思维自由驰骋，使每个学生都有得说，有得讲，满足了学生的不同需要。不仅使学生在相互交流中对小数比较大小的方法理解得更加透彻，而且在分析问题、解决问题中渗透了分类思想。

再如：小华家离学校125米，小青家离学校175米，小华家与小青家之间相距多少米？

原题配有插图 （学校在两家之间，且在同一直线上），思维含量不高，学生只需看图列式即可解决问题，涉及的只是低层次思维。当把教材中的插图去掉后得到的条件开放题，思维附加值明显提高。这样，为不同水平的学生提供了展示聪明才智的广阔舞台。

（1）小华家、小青家和学校都在一条直线上，并且都在学校的一侧，则两家相距175-125=50（米）；

（2）小华家、小青家和学校都在一条直线上，并且分散在学校的两侧，则两家相距125+175=300（米）；

（3）小华家、小青家和学校都不在一条直线上，则两家的距离大于50米，而小于300米。

多数学生受固有思维惯性的影响，可能只是考虑了上述情况 （1）或（2），头脑灵活一点的学生能够考虑这两种情况，水平较高的学生则可能考虑到情况 （3），但不会用圆环图完整地表达所有的情形。通过生生互动，相互补充、不断完善，形成了完整的认知视角；经过教师引领，师生互动，学生思维从片面走向全面，从具体走向抽象，从零散走向统整，令不同层次的学生眼界大开，受到思维风暴的洗礼。

三、设计要求开放的数学作业，促进学生差异发展

由于受多重因素的影响，学生在数学基础、经验和能力等方面都存在差异。为此，设计作业时，不能“一刀切” “齐步走”，而应该从学生的数学现实出发，针对学生的个体差异设计弹性化作业，为每个学生创造一个宽松、自主的练习，提高和发展的人文环境，使每个学生都成为学习的主人，品尝到成功的喜悦，在数学学习历程中不断获得前进的动力。

如新授课上，为了帮助学生记忆和理解公式，培养学生灵活思维的能力，运用公式S=πr2求圆面积时，可设计以下A、B、C三个层次的练习，供不同层次的学生选择。

按照美国教育心理学家B.S.布卢姆掌握学习理论，我们把教学目标 （认知目标）水平由低到高分为以下5个层次：识记、领会、简单运用、综合运用和创见。不同层次的学生有不同的选择空间，也有相应的达标要求：学困生至少应该达到A层 （简单运用水平），中等生要达到B层 （综合运用水平），优等生力求达到C层 （创见水平）。

还可以根据不同层次的学生设计模仿练习、变式练习和发展练习三类，学生根据自己的实际情况自由选择适合自己需要的作业。如学习 “长方体和正方体的认识”之后，设计了如下难度渐增的作业：

★一个长方体纸盒的长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米，做这个纸盒需要多少平方厘米的纸？它的体积是多少？

★★一个长方体纸盒的棱长总和是48厘米，长是5厘米、宽是4厘米，它的体积是多少？

★★★一个长方体纸盒的底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米，它的表面积是94平方厘米，它的体积是多少？

再如：学习 “亿以内数的认识”后，设计难易不等、弹性极大的开放作业：

用4个 “8”和4个 “0” 摆一摆。

★摆出不同的几个数，写下来，再读一读。

★★按要求摆一个数，写下来，再读一读。

（1）一个 “0”都不读出来的八位数；

（2）只读出一个 “0”的八位数；

（3）读出两个 “0”的八位数；

（4）读出三个 “0”的八位数。

★★★按二星级的要求摆出所有的数，写下来，再读一读。

这种作业可以让不同层次的学生找到适合自己的作业，调动了学生做作业的积极性，树立了学习数学的自信心，享受到作业成功的乐趣。

在 “减负”背景下，还可以在控制作业总量的情况下，通过制订作业选择的规则，鼓励学生完成更具思考性、挑战性的作业，激发自我效能。如 “长方形和正方形的面积”综合练习，8题为一组，其中有6题为一星题、1题为二星题、1题为三星题，由学生自由选择、组合题目来完成6颗星。

★★★从边长10厘米的正方形纸上，剪去一个长3厘米，宽2厘米的长方形，剩下的纸片面积是多少？周长呢？

★★一块长方形和一块正方形的面积相等。已知正方形的边长是6厘米，长方形的宽是4厘米。求长方形的周长。

★一个长方形宽5厘米，长是宽的2倍。求它的周长和面积。

★一个长方形长10分米，宽比长短2分米。求它的面积。

★一个正方形周长是12厘米，它的边长是多少？面积是多少？

★一个长方形面积是48平方分米，宽是6分米，长是多少？

★一个长方形长40厘米，宽3分米，求它的面积。

★一个长方形长6厘米，宽4厘米，它的周长和面积各是多少？

四、设计表征开放的数学作业，促进学生差异发展

表征是学生对问题内隐思考的外在表达，不同学生表征的方式方法是有差异的。表征开放实质上就是解题方式、方法的开放。表征开放的数学作业，为不同学生展露自己的思想、才华提供了大显身手的机会。表征开放的数学作业，教材或配套练习中有的，我们要慧眼识珠，为我所用；如果没有，要加以收集、设计，以更好地照顾学生差异、暴露学生差异、展示学生差异、利用学生差异，在群体交流、互动中，相互欣赏、品味、质疑、碰撞，促进学生差异发展。

一道浅显的题目，也能反映不同学生的思维风格：

图1

图1是用语言表征的。可以看出，答题者是边审题边表征的：看到 “小芳比小云轻一些”，写下 （比）“26kg少”；看到 “小强比小云重一些”，写下 （比）“26kg多”。表达如此及时、简洁。

图2

图2也是用语言表征的，但与图1的区别在于：答题者不是把简洁的表达写在与条件对应的题目之中，而是写在一起的。可以看出写的时候是边写边想的，哪个写在26前，哪个写在26后。这样按照一定的顺序、特定的逻辑排好之后，答案就自然显现出来了。

图3

图3是用图形表征的。答题者用一条线段表示小云体重26kg，体重比小云轻的线段就画短一点，比小云重的线段就画长一点。谁最重、最轻看线段的长短一目了然。

再如，学习 “三位数除以一位数” （口算）后，作业中出现了一道思考题。

图4中的大长方形表示420，涂色部分表示多少？

图4

虽然学生答案是一致的，但是想法却多种多样，这可以从他们不同的表征中窥见端倪。

图5

图5一简一繁、一明一暗。左边用图示清楚地表达了阴影部分 （三角形）转化为长方形的过程，而右边则惜墨如金， “6格”二字就高度概括了转化的过程。

图6

图6的2个答题者虽然都把空白的小三角形涂成了黑色，都把阴影部分 （三角形）转化为长方形了，但左边是表示把右边的三角形割下来补到下边，右边表示的是这两个三角形是完全相同的。

图7

显然，图7传递的信息与图6左边表达的意思更加接近，用箭头清楚地表示出割补、旋转的过程。

图8

正如学生所言， “图8中的长方形可变成6个涂色部分。”但具体表达有细微差别，有用色彩表示的，有用线段分割的；分割线的方向也有不同。

图9

图10

图9、图10中，为什么答题者还用三道算式表示？这两个解答看似多此一举，其实与上面的思路还是不同的。他们是先求出每个小长方形的大小，再求出两个小长方形的大小，最后再求阴影部分的大小（图1中的表征就标示得非常清楚）。因为阴影部分是两个小长方形组成的较大长方形的一半，这可从图10的表征得到印证。

图11中，答题者的思路与上面的截然不同，他们看到的等量关系是阴影部分等于它所在长方形的一半，而不是把阴影部分转化成长方形。

图11

图12中，答题者思路更具独特性：别人看到的是大长方形里有6个小长方形，而他看到的则是3个长方形。他在思考时，能够始终指向问题，压缩思维步骤，这是难能可贵的。虽计算有误，但我还是照样奖励了一个五角星。

图12

[1]陈朴，潘自由，等．怎样设计小学生的练习和作业［M]．南京：江苏教育出版社，1987．

[2]肖川主编．名师作业设计经验［M]．北京：教育科学出版社，2007．

[3]方臻，夏雪梅编著．作业设计——基于学生心理机制的学习反馈［M]．北京：教育科学出版社，2014．

[4]林俊．数学作业设计的走向：超越传统［N]．中国教育报，2013－3－27．

[5]希文．这样的习题好［J]．小学数学教师，2005，（6）．