内设 外求 图相助
——一类复合函数零点的判断

陈和平

安徽省安庆市第二中学 (246000)

近几年比较流行一类高考数学试题，形如y=f[g(x)]的复合函数零点问题的判断，由于其计算量小、数学思想方法丰富、很深的思维层次.因此具有较好的选拔功能，试题通常作为高考小题的压轴题，受到命题者的青睐，题型有求方程解的个数及求参数取值范围.本文从解决此类问题过程、包含的思想、解题策略中提炼出几个关键词“内设 外求 图相助”与大家共享.

题型1 (2013年安徽理科高考)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

研究该题必须弄清几个关键点.首先，理解复合函数的概念，设函数y=f(x),x∈A，y=g(x),x∈B且g(x)∈A则称函数y=f[g(x)],x∈B为复合函数，通常y=f(x)称为外函数，y=g(x)称为内函数.其次，理解函数的零点(方程的解、两个函数图像的交点)的概念.

图1

解题分析：设f(x)=t，则g(t)=3t2+2at+b.由题意知：f′(x)=3x2+2ax+b导函数的零点为x1，x2(t=x1,x2)也就是y=f(x)的两个极值点.所以方程f(x)=x1及f(x)=x2解的个数(情况)进行分析，借助y=f(x)的图像与直线y=x1,y=x2的交点个数.不难看出，该题的选项为A.

特别强调的是，由于通过换元，关于方程3t2+2at+b=0的解有两个x1，x2(x1

解题时将复杂的问题化归为简单的问题，不熟悉的问题化归为熟悉的问题.运用数形结合的思想认清问题的本质，采取各个击破，找到思维的突破口.

图2

解题分析：设f(a)=t,则f(t)=2t.由分段函数得出f(t)=2t约束t的取值范围，得出满足方程f(a)=t有解时a的取值范围.

反思：2018届毕业班的复习迎考工作正在展开，课堂教学工作应扎实有效，就需要毕业班的老师探究不同的教学模式和更新教学理念.重讲题型不注重思想方法的渗透，学生的思维能力就得不到提高和升华.追求课堂容量而不花时间引导学生分析问题的本质，学生的解题能力得不到锻炼，因此复习课的课堂需要引导学生学会“数学的思维”，从而自觉地运用数学思想方法分析、解决问题，提高思维的深度和广度.真正做到“解一题、通一类、会一片”的高效复习.