巧用类比 事半功倍

魏 娇 赵小云

陕西学前师范学院数学系 (710100) 广西南宁第三十七中学 (530001)

类比推理,是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或者相似的属性,猜测他们之间可能具有其他一些相同或相似的属性的思维方法.它是数学中非常重要的推理方法,在数学教学中恰当的应用类比方法,不仅能突出问题的本质,提高教学效果,同时可以让学生明白学习数学知识的内在本质联系的价值远远超过大量学习数学事实本身,对提高学生分析问题、解决问题的能力有着极大的帮助,更能拓展思维的深度和广度,有利于学生对所学知识融会贯通、有机整合.类比方法既是数学学习的重要方法,也是数学发现的有效方法.应用类比方法,不仅可把抽象的新知识纳入到已有知识系统中来,变抽象为形象、变难为易、变繁为简,同时又可激发学生联想,具有启发思路、举一反三、触类旁通的作用.

一、概念类比

由旧概念产生新概念的类比叫做概念类比.用类比法引入新概念,可使学生更好地理解新概念的内涵与外延.

图1

例1 如图,点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N.在任意△DEF中有余弦定理DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.

试一试定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,a1=2,公和为5,则a18= .数列的前n项和Sn= .

二、结构类比

某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决.

三、模式类比

试一试设f(x)是定义在R上的函数,且f(x)的图像关于直线x=a和直线x=b对称(a>b).问f(x)是否为周期函数,为什么?

四、方法类比

借助于过去的经验、知识、技能与思想方法而进行的类比,称为方法类比.

五、升维类比

将平面(二维)中问题升级到空间(三维)问题,此种方法即为升维类比.

例5 已知命题:平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成的角分别为α，β,则cos2α+cos2β=1,若把它推广到空间长方体中,试写出相应的命题形式,并写出求解过程.

分析:平面与空间问题的类比,通常可以抓住几何要素的如下对应关系作对比:多边形↔多面体:边↔面;面积↔体积;平面角↔二面角;线段长↔面积;……

六、排列组合中的类比推理

例6 已知数列{an}(n∈Z+)是首项为a1,公比为q的等比数列.

(2)由(1)的结果,归纳概括出关于正整数n的一个结论.

分析:本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力,突出了创新能力的考查;通过抓住问题的实质,探讨具有共同的属性.

综上所述:类比推理是一种由此及彼、自由联想式的合情推理,是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.类比思维的过程不仅是一个推理的过程,更是对思维的高度浓缩的过程.教师在教学过程中应充分引导学生寻找合适的类比对象,明确进行类比的方向和目标,设置类比性习题,加强类比训练,有意识地营造一个较为开放型的学习空间.但也要注意,类比推理不是一种必然性的正确推理,要得到正确的结论,我们还必须经过严格的证明才行.在数学教学中,应引导学生仔细分析、比较,透过现象抓住所研究问题的特征,选择恰当的类比对象,提高其结论的可靠程度,自觉地掌握和应用类比方法,达到理想中的效果.

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[4]腾莹,施雪芬.例析高考中的类比问题[J].高中数学教与学.