数学原理、工具对现代通信技术的促进作用

赵鸿

【摘 要】数学和通信是息息相关的，其中傅立叶把信号的产生，变换，变化等等都具体地用数学方式表示出来，把抽象的信号形象化，更直观地展现在我们眼前。数学原理和工具对现代通信技术发展的促进应用。

【关键词】数学原理；数学工具；现代通信；促进

数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中，微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。其中数学在通信技术的领域中应用广泛。現在是信息时代，无处不存在信息，无处不存在通信，我们人与人之间，地区与地区之间，国家与国家之间的联系也因通信技术的发展而更加密切。

一、数学原理、工具在通信技术中的应用体现

数学在通信系统以及信息处理等学科中具有极端重要的地位。 可以这么说：所有的信号变换以及信息的处理都是这样一种机制：通过数学变换，将一种信号变换成另一种信号。而变换之后的信号更适合于在通信系统中传输。

（一）在数学上，信号可以表示为一个或者多个变量的函数。

例如，一个语音信号就可以表示为声压随时间变化的函数；一张黑白照就可以用亮度随着二维空间变量变化的函数表示，本文的讨论范围仅限于单一变量的函数，而且为了方便起见，本文讨论一般都用时间表示自变量，尽管在某些应用中自变量不一定是时间。

（二）连续时间信号和离散时间信号

全文将考虑两种基本类型的信号：连续时间信号和离散时间信号。在前一种情况下，自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上有定义；而后者是仅仅在离散时刻点上，也就是自变量仅取在一组离散值上。为了区分这两类信号，我们用t表示连续时间变量，而用n表示离散时间变量。另外，连续时间信号用圆括号（.）把自变量括在里面，而离散时间信号则用方括号[.]来表示。

在信号与系统分析中最主要的两个性质：线性和时不变性。其理由是：第一，很多物理过程都具有这两个性质，因此都能用线性时不变（LTI）系统来表征的；第二，可以对LTI系统进行详细的分析。这样既求得了对系统性质的深入了解，又提供了形成信号与系统分析核心的一套强有力的方法。在离散时间情况下，把离散时间信号表示成一组移位的单位脉冲的加权和，并据此导出了对离散时间LTI系统响应的卷积和表示。在连续时间情况下，相类似地把连续信号表示移位单位冲激函数的加权积分，并据此导出对连续时间LTI系统响应的卷积积分表示。这些表示方法是极为重要的，因为这样就可以利用系统的单位冲激响应来计算系统对任何输入信号的响应。

（三）连续时间和离散时间傅立叶级数和傅立叶变换

前面通过建立卷积和来标识、分析LTI系统是基于将信号表示成一组移位单位冲激的线性组合。下面我们将讨论信号与LTI系统的另一种表示，和前面讨论的出发点是一样的，仍是将信号表示成一组基本信号的线性组合，不过这时所用的基本信号是复指数，所得到的是连续时间和离散时间傅立叶级数和傅立叶变换。

傅立叶分析方法的建立有过一段漫长的历史，涉及到很多人的工作和许多不同物理现象的研究。傅立叶坚持的是任何周期信号都能用傅立叶级数表示！虽然这一点不完全正确，但傅立叶级数却能用于表示相当广泛的一类周期信号，其中包括周期方波和其它一些很重要的周期信号。

那究竟一个周期信号x（t）什么时候才确实具有一个傅立叶级数表示？从傅立叶分析的教科书中找到是它在一个周期内能量有限的信号，还能保证收敛，这在实际中很有用。由于要研究的大多数周期信号在一个周期内的能量是有限的，因此它们都有傅立叶级数的表示。然后，狄里赫利得到了另一组条件，这组条件对于我们关注的信号也基本上得到满足。狄里赫利条件：

条件1：在任何周期内，x（t）必须可积；条件2：在任意有限区间内，x（t）具有有限个起伏变化；也就是说，在任何单个周期内，x（t）的最大值和最小值的数目有限。条件3：在x（t）的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且这些不连续的点上，函数是有限值。

一个不满足狄里赫利条件的信号，一般来说在自然界中都是属于比较反常的的信号，结果在实际场合不会出现。对于一个不存在任何间断点的周期信号而言，傅立叶级数收敛，并且在每一点上该级数都是都等于原来的信号x（t）。对于在一个周期内存在有限数目不连续的点的周期信号而言，除开那些孤立的不连续的点外，其余所有点上傅立叶级数都等于原来的x（t）；而在那些孤立的不连续的点上，傅立叶级数收敛于不连续点处的值的平均值。在这种情况下，原来信号和它的傅立叶级数表示之间没有任何能量上的差别。因此，两者从所有实际目的来看可以认为是一样的；具体一点就是，因为两者只在一些孤立的点上有差异，所以在任意区间内的积分是一样的。为此，在卷积的意义下，两者的特性是一样的，因而从LTI系统分析的观点来看，两个信号完全一致。

二、结束语

本文主要讨论了连续时间和离散时间的傅立叶分析方法，怎样的信号能用傅立叶表示，信号与系统中的两个重要性质。信号与系统这一学科的内容极为丰富，因此想要研究得更多不是一朝一夕能达到的，通信世界是一个让人着迷，让人疯狂的世界。所以在以后的学习中，我会继续探究下去，也许这对我来说有很大的困难，可是那奇幻的变换给我带来了无穷的乐趣。面对着新问题，新的技术和新的机遇挑战，信号与系统分析一直在不断演变和发展着。我们完全可以期望，随着技术的进步，使日益增长着的复杂系统和信号处理技术的实现成为可能，而且一定会加速这一进程。将来，我们一定会看到信号与系统分析方法和概念应用到更广泛的领域中去。