代数方法在几何证题中的应用

范 伟

（福建省南平市教师进修学院，福建 南平）

代数、几何、三角知识的综合运用能力是考查学生数学核心素养的重要指标，也是中学数学教学研究的一项重要课题。本文希望通过一些具体实例的研究，就几何证题中运用代数方法的某些类型提出探讨。

一、用方程法证明几何命题

在几何证题中，经常遇到这样的题目，题中的各个几何量的关系都已找出，但这些关系交叉错杂，很难理出头绪，总觉得推理论证中思路不够清晰。要是学生能将已知的几何量之间的关系，用一系列的等式表示出来。用列方程（或方程组）的方法加以整理和变形，就能找出它们的内在联系。

例1.在Rt△ABC中，D、E是斜边AB上两点，且AD=AC，BC=BE，又 EF⊥CD，F 为垂足，求证：EF=CF。

分析与证明：题中有若干等腰三角形、直角三角形，因此存在相等、互余、内外角关系等，这些关系交错纷纭，初中生刚接触几何证明题，容易搞成一团乱麻，将这些关系列成一组等式，情况就清楚了。如图 1，欲证 EF=CF，只需证∠ECF=∠CEF=45°。设∠ECF为∠α，∠CEF 为∠β，有：

∠1+∠α+∠2=90° ①

∠α+∠2=∠β+∠3 ②

∠β+∠3=∠A+∠1 ③

∠1+∠α=∠4 ④

∠4=∠B+∠2 ⑤

∠A+∠B=90° ⑥

图1

在这组等式中，等式①与等式⑥是等价的，只要用一个就可以了，这也是运用方程法时经常遇到的问题。在五个等式里，仿照解方程组的方法消去∠α，∠β的几何量，就可以得出∠α与∠β的关系：

由④⑤得∠1+∠α=∠B+∠2；由②③得∠α+∠2=∠A+∠1。则 2∠α+∠1+∠2=∠B+∠2+∠A+∠1，所以 2∠α=∠A+∠B=90°，所以∠α=45°=∠β。

运用方程法解几何题对培养学生逻辑推理能力，抓住事物的本质，能够判别出哪些条件是必要的，哪些是多余的，哪些是独立的，哪些是重复的？这种能力对他们将来的学习是很有帮助的。

二、用反证法证明几何命题

反证法(又称归谬法)属于间接证明方法。当证明“若A则B”很困难甚至不可能时，先提出和结论相反的假设，再根据这个假定推导出和条件、定理、公式相矛盾的结果来，从而否定了该假设，得到结论。

例2.试证明不存在格点正三角形。

证：（反证法）设△ABC为三顶点在格点上的正三角形，如图2建立坐标系。有 A（0，0），B（x1，y1），C（x2，y2）,其中（x1，y1），（x2，y2）均为有序整数对。

由于 x1，y1，x2，y2均为整数，而整数的有限次四则运算结果为有理数，而△ABC为正三角形，

图2

从数学思想角度看，反证法即为证伪法，反证思想表现为反例法。比如：两个互为反函数的函数的公共点，都在直线y=x上吗？举y=b-x等反函数为自身的反例即可。

在这个例子中结合了初等数论知识，综合运用坐标法、反证法解决问题，对培养学生逻辑思维能力、积累具体的解决问题经验、促进学科核心素养的形成具有重要作用。

三、用向量代数证明几何命题

向量是既有方向又有大小的量，因此向量具有几何与代数的双重身份。用向量代数解决几何问题，对培养学生数形结合、数学抽象和直观想象能力都很有帮助。

数形结合包括由形到数、由形到形和由数到形。在中高考中，针对选择题和填空题的特点，重点检查学生将数量关系问题转化为几何图形问题来解决的能力。而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法，其对数形结合思想的考查以由形到数为主。

分析与证明：这是典型的数形结合问题。如图3

图3

用代数方法证明几何命题时，重在挖掘图形中隐藏的数量关系。应注意数量结构中蕴涵的距离、角度、面积、斜率的几何意义，数量关系中蕴含的位置关系，数量结构中蕴涵的图象截取，以及曲线性质中的几何关系。问题解决时应从代数、三角、几何知识中择其所要，相互为用。