机械工程设计中的近似NURBS曲面蒙皮技术

刘 馥 于文强

曲面造型是机械工程设计的重要内容，通过构建满足用户所需形状、光滑性等约束条件的曲面，进而生成三维模型。在各种各样的曲面造型技术中，曲面蒙皮是最重要的技术之一。其主要步骤是在空间布置若干条截面线，然后用一张曲面去插值这些曲线，使得这些曲线在最终的曲面上是等参线。在机械设计领域，通常用B样条或NURBS表示曲面[1]。由于B样条和NURBS曲面蒙皮的重要性，很多学者对此展开研究。姚运萍等人利用B样条曲面蒙皮技术拟合三维空间的叶片测量点列，实现叶片曲面的重构[2]。贾明等人提出了基于矩形拓扑区域的曲面局部协调设计方法，可对跨多张曲面的局部矩形拓扑裁剪区域进行重建[3]。

对于B样条和NURBS曲面蒙皮而言，除了满足形状和连续性约束外，蒙皮过程中会产生大量的控制点，严重影响后续曲面的处理效率。为此，王文珂等人提出一种误差可控的B样条曲面蒙皮方法，可在误差范围内有效减少蒙皮曲面的控制点数目[4]。随后，李涛等人提出了两组相交截面线的双向蒙皮方法[5]。但是，这两种方法都是针对B样条曲面的，不能处理NURBS曲面蒙皮问题。众所周知，B样条是NURBS的特例，即NURBS控制点权值都为1时的退化情况。相比B样条曲面，NURBS曲面可以表示更多的形状，形状控制也更加灵活。此外，王文珂等人提出的方法并没有充分利用用户给定误差。对于少数曲线来说，原始曲线和删除节点后的曲线间的距离较为接近用户给定误差；但是对于大多数其他曲线来说，两者的距离要比给定误差小得多。本文将王文珂等人提出的方法推广应用到NURBS曲面蒙皮的情况，同时利用“残留”误差，可以在误差范围内进一步减少蒙皮曲面的控制点。

1 NURBS曲面近似蒙皮算法

为了推导方便，首先考虑B样条曲面近似蒙皮问题。给定一组相容的B样条曲线，通过插值各曲线对应的控制点即可得到蒙皮面的控制点。为了后续叙述方便，本文把蒙皮过程叫做v方向插值。本文首先利用王文珂等人提出的方法得到一组相容的且满足误差要求的B样条曲线。由于很多曲线仍存在残留物差，因此人们并不需要精确插值这些曲线，这也给人进一步减少蒙皮面控制点的空间。在本文算法中，首先插值v方向的曲线，然后在误差范围内进一步减少蒙皮曲面控制点。

首先估计第t条截面线和删除节点后的曲面间距离，令：

它们分别表示原始曲面和删除第s个节点后的曲面。第t条曲线在S0(u,v)上是等参线。用vt表示它在曲面S0(u,v)上v向的参数值。对应的，曲面S1(u,v)上也有一条等参线S1(u,vt)。曲线S0(u,vt)和曲面S1(u,v)之间的距离不会大于两条等参线间的距离。

用r表示被删除节点的重数，令：

根据节点删除公式，同时令：

现在考虑NURBS的情况，将NURBS曲面写成齐次坐标的形式，可以类似地得到如下估计式：

可以得到曲线S0(u,vt)和曲面S1(u,v)间的距离估计式：

其中

上述距离估计式是在齐次坐标下推算出的，不能直接用于计算三维空间中曲线曲面间的距离。利用齐次坐标和三维坐标的关系，可得NURBS曲线和曲面在三维空间的距离估计式：

如果曲面远离坐标原点，则||Pmax||会很大。因此，人们对曲面做平移来减小||Pmax||。用Pc表示曲面重心，于是式（3）变为：

式（1）和（4）分别给出了B样条曲线曲面间距离和NURBS曲线曲面间距离的估计式。如果人们需要删除多个节点，则只需要单独删除每个节点，然后用式（1）和式（4）估计距离，将所有距离相加即可得曲线曲面间距离的一个上届估计。

基于上述推导，本文算法的主要思想是依次删除使得曲线曲面间距离最小的节点。首先，对于每个待删除节点，估计删除该节点后各曲线和曲面间的距离，距离最大的定义为删除该节点后的删除误差；然后将删除误差最小的节点删除；此过程一直进行，直到所有节点都被删除或最小的删除误差也大于用户给定误差。

2 实验结果

为了验证本文方法的有效性，下面用汽车设计中的两个曲面蒙皮例子进行测试。图1是车头曲面的蒙皮结果，其中图1的上部曲面是用传统蒙皮方法得到的曲面，共含有160个控制点。设定误差为1mm，则利用本文方法得到的曲面只含有16个控制点，如图1下部所示，相当于原有方法的10%。由于给定误差很小，本文方法得到的曲面和精确的曲面非常接近，这使得人们很难表示两曲面间的距离。为了显示方便，图1右部给出了两曲面上两条等参线（u=0.75），通过放大人们可以看到两曲线间的距离。

第二个例子是车头及车窗曲面的蒙皮结果。图2上部显示为绿色的三个曲面共含有2430个控制点。同样设定误差为1mm，利用本文方法得到的三个曲面共含有220个控制点，只相当于传统方法的9.05%。

图1 车头曲面蒙皮结果

图2 车头及车窗曲面蒙皮结果

3 结语

本文提出了一种机械工程设计中的近似NURBS曲面蒙皮方法。本方法首先给出了输入曲线和减少控制点后的曲面间距离的误差估计，然后基于该估计式，利用冗余误差来减少NURBS曲面蒙皮过程中的控制点。实验结果证明了本文方法的有效性。

[1]施法中.计算机辅助几何涉及与非均匀有理B样条[M].北京：高等教育出版社，2001：212-214.

[2]姚运萍，盛晟，王薇.叶片蒙皮曲面重构方法的研究[J].机械制造，2013，51（582）：24-26.

[3]贾明，吕震，李永青，等.基于B样条曲面裁剪计算的局部协调设计[J].机械工程学报，2003，39（2）：74-78.

[4]王文珂，张慧，王斌.误差可控的近似B样条曲面蒙皮算法[J].计算机辅助设计与图形学学报，2008，20（11）：1477-1482.

[5]李涛，刘浩.B样条曲面的双向插值造型算法[J].计算机工程与应用，2012，48（35）：178-181.