准变量思维：学生代数思维的符号启蒙

许旭红

摘 要：作为“算术思维”和“代数思维”的中介，“准变量思维”能够对学生进行积极的符号启蒙。教学中，教师要展开符号孕育、符号播种、符号创造，激活学生准变量思维的生发点、生长点和生成点。

关键词：数学教学；准变量思维；代数素养

作为算术思维和代数思维的中介，“准变量思维”是学生跨越“算术思维”与“代数思维”的桥梁和纽带。“算术思维”是一种程序性思维；“代数思维”是一种关系性思维。小学数学更倾向于算术思维，初中数学更倾向于代数思维。因此，在小学数学教学中，教师应当培育学生的“准变量思维”，促进学生从“算术思维”向“代数思维”的有效联结与过渡。教师应充分发掘小学数学中的代数特性，激活符号的生长因子，精心呵护、扶植学生的“准变量思维”。

一、符号孕育，激活“准变量思维”的生发点

“准变量思维”是学生代数思维发展的“最近发展区”，它的对象是“准变量表达式”“准代数关系或结构”和“准符号化表述”。在小学数学教学中，教师要积极发掘培育学生“准变量思维”的载体，可以从教材中发掘，可以从生活中发掘。教师要引导学生善于运用 “代数的耳朵与眼睛”来思考算术及其问题，积极挖掘蕴含其中的“代数思维的萌芽”。

例如，教学“十几减9”（苏教版小学数学一年级下册），在学生运用多种方法探究了“算法”（如“破十法”“平十法”“算减想加法”等）后，笔者并没有就此止步，而是重点引导学生进行算法优化。学生体验到“破十法”易于理解、“平十法”非常巧妙、“算减想加法”非常快捷。如在教学“平十法”（计算：13-9）时，引导学生感知数字、分析数字，关注数字之间的关系。“9可以分成几和几呢？”学生很快说出了“9的分与合”。“为什么9可以进行这么多的分与合，但我们偏偏将9分成‘3+6呢？”此时，学生已经开始从结构上、关系上关注数字之间的关系。有学生说，因为13个位上的数字是3，所以要将9分成3+6。笔者适时追问：“14减9呢？15减9呢？16减9呢？”“平十是什么意思？”由此，学生深度理解了“13-9=13-3-6=10-6=4”。在这种关系启蒙中，有学生生发出了这样的算法：老师，我想是不是还可以这样算，13减9相当于14减10；14减9相当于15减10；15减9相当于16减10；……在深度交流中，有学生发现，减数加几，被减数就加几，差就不变；有学生发现，减少要凑成10，只有这样才方便计算；有学生说，被减数加几，减数就加几，前面加的数和后面加的数相减等于0，所以差不变；……应该说，学生在探究、交流的过程中形成了对减法运算的本质理解，同时发展了他们的准变量思维。

所谓“符号意识”，是指一种主动使用符号的心理倾向。在数学教学中，教师要引导学生研究符号形成的发生机制，让学生理解符号。从“等于号”开始，渗透符号的使用规则和结构特点。为学生理解符号、科学地运用符号做好积极的准备。要积极发掘教学资源，激活学生“准变量思维”的生发因子，捕捉学生数学思考过程中的“代数思维的萌芽”。学生数学思维的发展是由低级向高级逐步演变的过程，尽管不存在绝对的“线性关系”，但教师既可以展现数学中的“算术程序或步骤”，又可以展现“代数关系或结构”。

二、符号播种，培育“准变量思维”的生长点

英国著名数理逻辑学家罗素说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”的确，作为数学的代数学，一个明显的标志就是数学符号化。教学中，教师要播种符号的种子，激活学生“准变量思维”的生长因子。学生符号意识的生成不是一蹴而就的，而是一个循序渐进的、缓慢的生长过程，必须经历从“表象认识”到“符号表征”再到“符号化”的过程，这是一个符号萌芽、开花、結果的过程，教师要引导学生准确切入符号的生成点、生长点和生发点。

例如，教学《间隔排列》（苏教版小学数学教材三年级上册），首先出示主题图，引导学生用语言表达“兔子蘑菇”“夹子手帕”“木桩篱笆”之间的关系，学生纷纷用自己的语言表述自己的发现。如有学生说，兔子和蘑菇是一个隔着一个排列的；有学生说，兔子比蘑菇的个数多一个；还有学生说，这些排列的规律是一样的；……应该说，学生的表述既有对单一间隔现象的表述，也有对整体间隔现象的表述；既有对事物的真实描述，也有对事物之间关系的表述。如何让学生的文字语言升华为图形语言、符号语言？如何让学生经历“形象（主题图）——表象（文字、图形表述）——抽象（符号表述）的符号化全过程？教学中，笔者首先引导学生用字母表示现象，建构“代数雏形”。当学生抽象出“ABAB……A”后，笔者给学生多搭一级台阶，“A和B之间有着怎样的关系呢？”学生一开始还是如文字表述的那样，“A比B多一个，B比A少一个”等。“如何更简洁地表示它们之间的关系呢？”“A和什么相等呢？”在笔者的启发下，学生逐渐进行符号转换，建构出等式：A=B+1，B=A-1。在这种逐步符号化的过程中，学生获得了更多的代数体验和感悟。

著名语言学家皮埃尔·吉罗说：“我们生活在符号的世界之中。”而荷兰著名数学家弗赖登塔尔也曾这样说，“与其说是学习数学，毋宁说是学习数学化；与其说是学习公理，毋宁说是学习公理化；与其说是学习形式，毋宁说是学习形式化”。让学生经历数学符号的萌芽、生长、发育过程，能够帮助学生完成从“算术思维”向“代数思维”的过渡。如此，学生能够用“代数的眼睛”看待社会生活现象或者数学问题，能够用“代数的大脑”思考问题，能够用“代数的语言”交流、表达问题。

三、符号创造，形成“准变量思维”的生成点

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，“符号的使用是学生表达数学和进行数学思考的重要形式”。在数学教学中，教师应当引导学生分析数学问题、解决数学问题；在问题解决中形成学生的“准变量思维”；在符号的生成、模塑和被使用中，学生能够用数学的方式把握数量关系，甚至能够建构数学模型。

例如，在小学低年级学段，学生常常遭遇“等量代换”“天平平衡”等问题，这一类问题是培育学生准变量思维的绝佳载体。如“2头牛相当于6只猪的质量；1只猪相当于3只羊的质量；1头牛相当于几只羊的质量？”对于低年级学生来说，教师可以引导学生借助“天平”来思考，因为用天平来思考是直观的，能够将抽象的数学问题感性化。教师也可以引导学生画出“示意图”，借助示意图助推学生的数学理解。教师还可以让学生自主创造符号，表征牛、猪、羊之间的关系。这样，将复杂的数量关系简约化，便于学生的问题解决。如有学生用☆代表牛，用△代表猪，用○代表羊。于是，错综复杂的题目变得一目了然：2☆=6△，1△=3○，即1☆=3△，1△=3○，所以1☆=9○。学生创造的符号富有童趣，能够帮助其进行数学思考，还能帮助其简单地观察、分析、推理。这种对课程资源的开掘，能够形成学生“准变量思维”的生成点，这对形成学生的符号化思维十分有益。

再比如，在学生初步比较数的大小时，教师不应采用“告诉”的方式向学生介绍符号，而应让学生主动创造符号。只有这样，学生才能理解“>”“<”中的开口含义、方向含义，才能理解“=”所表示的数学内涵，渗透数学的对应思想，帮助学生建立“同样多”“比谁多”“比谁少”的意识。以学生的经验为基础，让学生创生符号，能够让学生初步感受到符号在数学学习中的价值，感受到数学符号的优越性及其意义。

数学学科的特质就是形式化、符号化，每一个概念或关系都有确定的符号表示。对学生早期的准变量意识的启蒙，有助于学生跨越算术思维与代数思维之间的鸿沟，有助于弥合算术、代数之间的人为割裂，促进算术数学与代数数学的自然衔接。很多时候，一个问题的解决既可以借助算术，也可以借助代数。对算术中隐含的代数关系、结构的识别、运用与创造，既是一门科学，也是一门艺术。

德国著名数学家莱布尼茨说：“符号的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约。在这里它以惊人的形式节省了思维。”培养学生的代数思维需要早期孕伏，需要“准变量思维”的积极启蒙。作为教师，应当积极捕捉恰当的内容，寻找恰当的时机，选择恰当的方式展开。同时，教学应当尽可能贴合学生的实际，对学生的学习进行耐心、细致和持久的指导，让学生能够理解数学符号、表达数学符号、运用数学符号、创造数学符号！