非线性回归方程的求解与应用

☉江苏省白蒲高级中学 顾晓莉

在生活、生产等方面的实际应用问题中，其研究的两个变量可能呈现诸如反比例函数、幂函数、指数函数或对数函数等非线性关系，解决这个问题时，关键是如何确定函数f（x）或g（x）的具体形式，需要针对具体的数据进行分析，通过散点图和有关函数曲线知识，选取一个或几个合适的函数，然后通过观察变换数据的散点图、相关系数等确定一个合适的函数形式，达到非线性回归关系转化的目的.

一、非线性回归分析的基本步骤

非线性回归问题往往没有相应的经验公式，需要通过我们的经验加以转化与应用.根据已知相关的数据，画出散点图，把图形所对应的曲线与已经学过的各种基本初等函数（反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等）的图像作一比较，挑选一种与所作出的这些散点比较吻合的函数，通过适当的变量变换，把问题转化为线性回归来分析，使之得以解决.其一般的解题基本步骤如下：

二、非线性回归分析的应用

1.拟合函数的直接应用

例1 某个电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验数据可知，此后电压U随着时间t的变化的规律可以用公式U=Aebt（b＜0）来表示，现测得时间t（s）时的电压U（V）如下表：

t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U/V 10075 55 40 30 20 15 10 10 5 5

试求：电压U对时间t的回归方程.（提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题）

分析：结合题目条件，根据已知拟合函数，先对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题，通过解决线性回归方程后再加以转化.

解析：对U=Aebt两边取对数得lnU=lnA+bt.

令y=lnU，a=lnA，x=t，则y=a+bx，y与x的数据如下表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6

根据表中数据画出散点图，如图1所示，从图中可以看出，y与x具有较好的线性关系，由表中数据求得≈3.045，由公式计算得

图1

因此电压U对时间t的回归方程为Uˆ=e-0.313t·e4.61.

点评：对于解决非线性相关问题，可以通过相应的初等函数模型加以转化，建立与线性函数之间的对应关系，其目的是对具体的数学问题加以合理与正确的统计处理与数据分析.

（1）高职院校仍然沿用传统讲授式教学，由于高数课程的困难，很难构建讨论式、学生活动式、探究式、发现式课程体系。微积分难度较高，本科学生尚且望而生畏，清华大学的学生甚至都存在不感兴趣的情况，更不用说高职院校的学生了。（2）应试教育的评价方式让专业课程难以建立，高职高数课时相对知识体系较少，学生为了通过考试只能硬背题型，照葫芦画瓢，既不能宏观理解，也不能应用，在毕业以后也很少应用到高数。（3）教材脱离专业，枯燥繁琐，传统高数教材的特点就是虚，没有服从专业的内在需求，过度紧张的教学和功利化的倾向，加上学而不用，造成了高数学习的焦虑。

2.拟合函数的选取应用

例2 在一次抽样调查中，测得相关样本的5个样本点，对应的数值如下表所示：

x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1

试建立变量y与x之间的回归方程.

分析：先作出两个相关变量y与x之间的散点图，根据所作的散点图的变化规律，选取恰当的满足其规律的拟合函数，通过求解线性回归方程，最后再转化为与之相应的非线性回归方程.

解析：根据对应的数值，作出相关变量y与x的散点图，如图2所示，

由图中散点图的变化趋势可知，变量y与x近似地呈反比例函数关系.

t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1

作出变量y与t所对应的散点图3，如图所示：

图3

点评：解决非线性相关问题的关键是函数之间的相互转化问题，其实质是建立对应函数与线性函数之间的对应关系，从而达到合理科学分析统计数据的目的.

3.拟合函数的综合应用

例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表所示：

身高x（cm） 体重y（kg） 身高x（cm） 体重y（kg）60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

（1）试建立体重y与身高x之间的回归方程；

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm、体重为82kg的在校男生体重是否正常？

分析：（1）先通过散点图来确定样本分布的指数函数，再通过换元，把这个指数函数转化为线性相关函数进行求解；（2）根据（1）所求的回归方程，结合对应的数据加以判断与应用.

解析：（1）根据上表中的数据画出散点图，如图4所示：

图4

由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x的周围，于是可令z=lny，那么有：

x z x z 60 1.81 120 3.04 70 2.07 130 3.29 80 2.30 140 3.44 90 2.50 150 3.66 100 2.71 160 3.86 110 2.86 170 4.01

作出上表中数据的散点图，如图5所示：

图5

由散点图可知，z与x之间具有线性相关关系，

（2）当x=175时，预测平均体重yˆ=e0.0197×175+0.6927≈66.22，由于66.22×1.2≈79.47＜82，则该男生体重偏胖.

点评：本题考查了利用散点图判断回归方程的方法，求非线性回归方程以及利用回归方程进行分析与预测的能力与方法.利用表中的数据以及回归分析的方法求出回归方程，然后代入数值进行分析与预测.

对于解决一些非线性相关问题，其主要的解决方式就是通过建立与之相关的初等函数模型，利用初等函数模型加以转化，从而达到非线性相关问题与线性函数之间的对应关系，进而利用数学方法、统计思维方式来解决与之相关的实际应用问题，达到合理的统计处理与数据分析，真正做到通过数学来服务实际生活.J