立足学生，有序推进
—— 高中数学习题课教学的几点思考

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 罗 燕

新的课程标准将发展学生的学科核心素养作为教学目标，如何提升学生的数学核心素养呢？笔者认为学生素养的提升应该与解决具体的数学问题相联系，习题课教学应该是重要的抓手，通过有效的习题课教学拓宽学生解题方法的视角，同时提升学生数学思维的品质，通常情况下高中数学教师在习题课教学中都能应运用经典习题的解决、变式与拓展帮助学生巩固所学知识、掌握并灵活运用各类数学思想与方法，而效率的高低则取决于我们的教学是否做到“心中有学生”、”手中有方法”.本文结合具体的教学案例，笔者就该话题谈几点看法.

一、师生对话：启发学生在思辨形成“共鸣”

习题课教学不是简单的学生做、教师讲，也应该注重师生对话，师生对话的过程，就是学情检测、方法指引、思想渗透的过程，下面以具体的实例来说明.

教学片段1：设置问题：判断真假命题：

（1）若x=1，则x2=1；

（2）若a＞2，b＜3，则a＞b；

（3）若sinα≠sinβ，则α≠β.

生1：命题1是真命题，命题2是假命题，命题3，我不太能判断.

生2：举例来判断.

生3：举反例可以证明它是假命题，但如果它是真命题怎么办？

师：看来大家对命题3的判断有难处，你们可能联想其逆否命题来进行判断呢？你们还记得四种命题形式及其关系是怎样的吗？教师在学生一定思考之后投影图1中的关系图.

图1

生4：命题3的逆否命题：若α=β，则sinα=sinβ.因为这一逆否命题为真命题，所以我们即可推断出命题3也为真命题.

师：四种命题形式及其关系和利用互为逆否命题同真假的判断方法在命题3的判断中都得到了运用，一般来说，这一方法适用于哪些情况呢？

生5：对命题的真假比较难以直接判断时，以“不等式”形式呈现的命题.

师：很好，大家来看一下命题4：若tanα≠tanβ，则α≠β.

生6：它是真命题.

师：它的逆否命题是怎样的？

生6：逆否命题：若α=β，则tanα=tanβ.

生7：当α=β=90°时，tanα、tanβ的值不存在，由此可见命题4是假命题.

师：很好，研究函数问题时一定要注意从定义域开始研究才对.

从上述的教学片段来看，教师的教学设计选择一组从易到难的练习，教学目的相当明确，通过师生对话让教学的时效性得到了有力的提升，学生在教师的引导下进行辨析、质疑并因此产生认知上的共鸣，学生对知识的巩固以及数学方法的掌握也因此更加到位.

二、分层设计：着眼于全体学生的发展

学生是教学的主体，这里的学生不是个体，而应该是班级上所有的学生，那么我们的教学如何设计？目标如何确定呢？我们都知道，课堂教学的“双边”活动都是围绕课堂教学的目标这一教学的主线而进行的，而学生间存在着较大的差异，尤其是到了高三，由于时间跨度较大学生的差异就更大，数学复习阶段的习题课教学如何设置教学目标呢？笔者认为，无论是高一、高二，还是高三复习阶段，数学教师都必须立足于学生的具体学情，同时也应该充分研究考试说明、课程标准与教材并准确把握好习题课教学的方向，综合考虑多方面的因素确立多元化的目的和要求以促进全体学生的发展.

教师首先根据学生数学学习的综合表现将学生分成A、B、C三个层次，制定本课教学目标时也根据不同层次水平的学生一一确立.比如，A类学生理解能力较强，则要求他们在理解这一公式的基础上掌握错位相减法求和、倒序求和等技能技巧；B类学生理解能力中等且基础较好，则要求他们在掌握教材中公式的推导过程之外了解另外两种推导公式的方法；C类学生是数学学习中能力较低的学生，则要求他们了解并记忆教材中对这一公式的推导过程.同时，教师还可以精心准备一些基础训练题以促进学生对这一公式的应用、巩固与掌握.

练习1：（A类题）求和1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+4+…+2n-1）.

练习2：（B类题）已知数列{an}的前n项和为Sn=2n-1，求a12+a22+…+an2的值.

练习3：（C类题）求和：3+32+33+…+3n.

多元化的目标与分类练习使各个层次的学生都有新的收获，听不懂、吃不饱的现象也因此得以杜绝.

三、学而常思：引导学生个体数学思维向纵深发展

我们的教学要面向全体学生，笔者从另外一个层面上可以理解为我们的教学要促进每一个学生在其原有基础上得到最大化的发展与提升，对于习题课教学而言，引导学生及时的反思能够促进学生的思维变得更为缜密、灵活.

例题 若实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值为______.

分析与解答：二元代数最值问题经过已知条件的三角换元以后转化成了单角三角函数的最值问题，问题再经过三角恒等变形等手段最终转化成了简单的三角函数最值问题.由题意可设x2+y2=1，x=cosθ，y=sinθ，其中θ∈［0，2π］，则

将条件进行三角换元的多元不等式求最值的一类问题中可以说是一种通法，大多数学生遇到此类问题时都会联想到这种解法并成功解题，不过，将解题行为仅仅止步于问题答案的获得只是解题教学中最为初级的目标，后续丰富而有意义的解题反馈才会更具学习与研究的价值，我们可以引导学生从如下两个方面思考.

宏观范围的思考：解法正确与否？是否对条件与结论作过一定的讨论？

回头对上述分析与解题全过程进行仔细的研读，我们可以发现这一分析与求解的过程都是正确的，而且，如果三角换元后分式无法进行约分仍可以将其进行进一步的代换，令t=sinθ+cosθ并借助函数知识使问题最终得解，三角换元在此类问题解决中的通用性也因此再一次得到展现.

关注具体解题环节：题目的特点是否凸显？问题的深层结构是否能够探触？

我们再次对上述解题过程进行仔细的审视可以发现：设x=cosθ，y=sinθ后因此，我们可以直接对进行变形并使得三角换元这一思维定式得到突破.事实上，已知条件中的x2+y2与表达式中的x+y，xy存在着简单的完全平方公式：（x+y）2=x2+y2+2xy=1+2xy，从而即简化为：若实数x，y满足x2+y2=1，且x+y-1≠0，求x+y+1的取值范围.问题得以简化的同时也令目标表达式更加简单而平凡，题目所隐含的本质特点也因此得到了很好的体现，问题的深层结构也因此被有力探触，解题者在这样的简化过程中也会因此信心倍增，思维火花得到发散的同时解题也因此变得更加多样.

高中数学习题课教学应通过数学问题的思考与探索来拓宽学生的方法视角、提升学生的思维品质，如果将中学数学中的概念比作“源”，那么中学数学中的习题就应该是“本”一样的存在，为此笔者撰写本文旨在抛砖引玉，希望更多的同行能够关注习题课教学的策略与方法.J