深刻理解 有效实施 让核心素养落地生根
——《线段的长短比较》教学案例与评析

安徽省合肥市包河区教研室

汪洪潮 (邮编：230000)

安徽省合肥市第四十六中学

时 悦 (邮编：230000)

1 教学内容和内容分析

1.1 教学内容

沪科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》(七年级上册)第4章《直线与角》的第3节内容“线段的长短比较”.

1.2 内容分析

在前面的学习中，学生已经认识了基本的几何图形，了解了简单的几何语言，知道线段的有关知识，为本节课的学习打下了基础.本节课内容是通过生活中比较身高的实例，引导学生抽象概括出线段的长短比较方法——叠合法，给出了两条线段三种长度不同关系的几何符号表示，在此基础上，通过对抽象得到的图形的观察，引导学生发现线段的和差关系，并引出线段中点的概念及符号表示.

本课学习对学生抽象概括能力、语言表达能力、几何直观能力、逻辑思维能力等都有很好的训练和培养.

2 教学目标和目标分析

2.1 教学目标

(1)根据实际条件，灵活选用叠合与度量等方法比较线段的长短，能说出线段比较的结果，从“数”和“形”两个方面理解线段存在的长短关系及线段的和差关系.

(2)了解线段中点的概念和几何语言表示.

(3)经历从比较身高到抽象出比较线段长短的方法的过程，感受数学的抽象性、严谨性，培养几何语言的表达能力.

2.2 目标分析

(1)总结比较两位同学身高的方法后，将身高抽象成线段，两人身高的三种不同关系，对应两条线段长短的三种关系，由身高的比较方法概括出线段长短的比较方法.将实际问题抽象成数学问题，培养了抽象思维和概括表达能力，引导学生学会用数学的眼光观察世界.

(2)通过观察图形，由线段的长短关系过渡到线段的和差关系，将图形语言转化为符号语言，渗透“数形结合”思想，引导学生学会用数学的语言表达世界.

(3)利用动画演示，将线段上任意一点平移，由一般位置过渡到特殊位置，得到线段中点的概念.蕴含“一般与特殊”的关系，渗透无限逼近的极限思想.线段中点的两种表示法渗透倍分关系，为后续学习线段的三等分点、四等分点以及线段的几倍与几分之一打好基础.通过问题的变式、引申，逐步引导学生学会用数学的思维思考世界.

3 数学问题诊断分析

在本节课中，学生需要掌握线段的长短比较方法、线段的和差关系、线段的中点概念及其蕴含的等量关系.这些内容有内在的逻辑关系，体现了数学知识的发生、发展过程，具有严密的逻辑性，教学时要抓住知识发展和学生思维的主线，避免将简单的问题复杂化.

本节课的重点是线段的和差关系，难点是几何语言的表述.教师作为组织者和引导者，课堂上应放手让学生充分经历观察、比较、表达、完善等过程，最后给出规范的几何语言表述和板书，让学生感受数学的严谨性.

4 教学流程分析

环节一 环节二 环节三 环节四 环节五 环节六

师 创设情境→引导归纳→预设问题→承上启下→总结提升→布置作业

5 教学过程

5.1 创设情境,激发兴趣

师：前面我们学习了直线、射线和线段的有关知识，我们知道直线和射线是不可度量的，而线段是可以度量的，也就是说线段是有长短的，今天我们就来学习线段的长短比较(揭示课题).其实，我们生活中就有类似的比较，如怎样比较甲乙两个同学的身高？

生：让两个同学站在一块，背靠背站立进行比较.

师：为什么要背靠背？

生：保证两个人是竖直站立的，这样才公平.

师：如果两个同学一人站在讲台上，一人站在地面上，这样背靠背比较行吗？

生：不行，必须两个人站在同一个地面上，然后背靠背比较.

师：甲乙两个同学按要求站好了，怎么得出谁高谁低的？

生：如果甲的头比乙的头低，就说明甲比乙矮.

设计意图数学来源于生活,又高于生活.教学时充分利用学生已有的生活经验,并从中提炼出数学问题及解决问题的方法.通过比较身高这类学生熟悉的事例，引出学习内容，调动学生学习的积极性，激发学生探究的欲望.

5.2 引导归纳,自主发现

师：如果把甲乙的身高分别看成两条线段(动画演示将甲乙的身高抽象成线段AB和线段CD)，你能结合两人身高的比较方法，说说如何比较线段AB和线段CD的长短吗？

生：……

师：两人背靠背比较，反映到线段上应该怎样？两人站在同一地面上，说明线段长短比较首先要怎样摆放？

生：背靠背就是说两条线段要叠合在一起(即在同一条直线上)；人的头和脚分别看成是线段的两个端点，站在同一地面上，说明线段的一个端点要重合.谁长谁短就看第二个端点的位置了.

师：那有几种可能呢？

生：当点B落在CD之间(即端点C、D之间时)，有ABCD.

师：非常好，我们从一个熟悉的比较身高的问题中，发现了线段的长短比较方法.

师：像这种比较线段长短的方法称作叠合法.请同学们总结一下，用叠合法比较两条线段长短时应注意什么问题？如何去比较两条线段的长短？

生：比较两条线段AB、CD的长短, 首先要将它们移到同一条直线上，使端点A和端点C重合，点B和点D落在直线上点A(点C)的同侧. 当点B落在线段CD之间(即端点C、D之间时)，有ABCD.

(教师动画演示叠合的过程，呈现三种情况)

设计意图在总结生活经验的基础上，引导学生归纳两人身高的比较方法以及需要注意的问题,再将方法迁移到“线段的长短比较”的数学问题中来，促进学生理解,锻炼学生几何语言的表达、概括能力，感受数学的严谨性，逐步培养学生用数学的眼光观察世界的能力,用数学的语言表达世界的能力.

5.3 预设问题,再探新知

问题如图1(几何画板显示)，当点C是线段AB上一点时，图中有几条线段，它们的大小关系呢？

图1

生：有3条，分别是线段AC、CB、AB，由图可知：ACCB.

师：这三条线段之间有没有等量关系呢？

生1：AC+CB=AB；

生2：AB-AC=CB；AB-CB=AC；

师：两条线段的和与差，就是它们长度的和与差.如果AC=a，CB=b，AB=c,你能表示它们的和差关系吗？

生：a+b=c；c-a=b；c-b=a.

师：如果点C在线段AB上移动(不与A、B两点重合),以上不等量关系和等量关系还成立吗？

生：不等量关系中ACCB不一定成立了；而等量关系都成立.

师：利用几何画板的度量功能，可以把线段的长度都度量出来，请观察动画，当点C在线段AB上移动时，这3条线段的长度如何变化？(动画演示)

生：当点C刚开始移动时，有AC>CB，随着点C向点A方向移动，线段AC的长度越来越小，线段CB的长度越来越大，而线段AB的长度保持不变.

师：在点C移动的过程中，线段AC和线段CB的长度有没有可能相等？能找出相等时刻点C的位置吗？

生1：有可能相等(上台演示,如图2).

图2

生2：如果能够折叠，将线段折叠，使点A与点B重合，折痕与线段的交点就是点C.

师：我们把这时的点C叫做线段AB的中点，你能说说什么是线段的中点吗？

生：线段AB上有一点C，将线段AB分成相等的两条线段AC和CB，就说点C是线段AB的中点.

师：如果点C是线段AB的中点，根据定义，你能说出图中几条线段之间的等量关系吗？

设计意图利用直观图形，由线段的大小关系过渡到线段的和差关系，自然合理.利用多媒体动画及度量工具，揭示线段中点的含义.线段中点的表示采用两种表示法，渗透线段的倍分关系，为以后学习线段的三等分点、四等分点以及线段的几倍与几分之一打下基础.在概念的学习中，让学生体会一般与特殊的关系,通过不断逼近中点的演示，渗透极限思想，培养学生用数学的思维思考世界的能力.

5.4 承上启下,深入思考

师：如图3，如果在线段AB上再增加一个点D，此时图中共有几条线段？如何数的？请独立思考，然后小组交流.

图3

生：共有6条线段，分别是：

AC

、

AD

、

AB

、

CD

、

CB

、

DB

.线段有两个端点，先考虑以

A

为端点的线段，共有3条；再考虑以点

C

为端点的线段(之前数过的舍去)有2条；以点

D

为端点的线段有1条，共6条.

师：这种方法很好，体现了有序思考的策略.如果再数以点C为端点的线段时，之前数过的不舍去，结果又会怎么样？还正确吗？

生：(尝试后)每一个点(如点A)与其它三个点分别构成3条线段，所以共12条，恰好都重复了一次，再除以2就可以了.

师：这6条线段之间又存在怎样的等量关系呢？请写一写，看看谁写得多.

生：……

设计意图布置一个开放性的问题，既是对线段和差关系的巩固，也是探索数线段的方法，引领学生进一步深入思考.通过学生的自主探究、合作交流,发现图形中蕴含的数学规律.而这种规律及发现规律的方法体现了数学的逻辑性和条理性，在今后的学习中非常重要.

5.5 总结提升,感悟新获

师：通过这节课的学习，你学到了哪些知识呢？掌握了哪些方法？有什么感受？

生1：我学会了如何去比较两条线段的长短.

师：比较两条线段的长短的方法是什么呢？这种方法是如何得到的呢？

生2：有叠合法和度量法.叠合法是从比较身高的方法中总结出来的，度量法是使用量尺直接度量，其实也是一种叠合法.

生3：使用叠合法比较线段的长短时需要注意：两条线段AB和CD要移到同一条直线上，其中一个端点要对齐，观察另一个端点的位置. 当点B落在线段CD之间(即端点C、D之间时)，有ABCD.

生4：我知道了什么是线段的中点：线段AB上有一点C，将线段AB分成相等的两条线段AC和CB，就说点C是线段AB的中点.线段的中点有两种不同的表示方法.

生5：我还学会了数线段的两种方法：一种是固定其中一个端点，再找另一个端点.另一种方法是，先数单独一条线段的条数，再数由两条线段的和构成的线段的条数，以此类推.

生6：我感觉几何画板非常好，能够用动画把图形运动起来，非常直观.

师：同学们总结得非常好！

设计意图通过师生共同回顾本节课的学习内容和探究历程，构建知识框架，梳理知识的发生、发展过程，总结知识获得的方法，加深学生对所学知识的理解，感受数学的逻辑性和严密性.鼓励学生大胆发表自己的见解，培养语言表达和与人交流的能力.

5.6 布置作业,巩固提高

教材第141页练习第2、3题.习题4.3第4题.

设计意图通过课后练习巩固所学知识,给学生充分的独立思考的空间,有利于能力的培养.同时通过作业来反馈教学效果,为接下来的教学提供一个依据.练习第2题，利用几何语言表述线段的和差问题，要求学生对照图形进行判断，感受图形语言与符号语言的呼应配合.习题4.3第4题渗透用方程思想解决几何问题，要求学生通过对不同解法的比较，体会方程在解几何问题中的作用.

6 教学特色分析

6.1 充分利用生活实例组织教学

通过生活中比较身高的实例引入课题，将实际问题与几何学习联系起来，让学生在已有的生活经验基础上自然过渡到数学学习中来.通过两人是否背靠背、是否在同一地面上等多种不同场景的呈现，让学生反复感知实物与图形间的联系，增加学生的直观感受，培养学生正确视图和画图的能力.

6.2 重视几何语言的训练和培养

本课巧妙地将两位同学的身高抽象成线段，身高的比较方法抽象成线段的长短比较方法，并利用几何图形和符号语言呈现出来，让学生感受数学语言的魅力.在利用文字语言和符号语言描述线段时，都紧密联系图形，使得抽象和直观得到有机结合.线段的长短比较、线段的和差、线段的中点等内容的学习，都是先观察直观图形，分析数量关系，再给出文字描述，最后用数学符号表示，使三种语言优势互补.教师的口语和板书都用规范的几何语言给学生以示范，并充分让学生去说，提高学生几何语言的口头表达能力.

6.3 准确把握教学要求

线段的图形和概念在前两个学段都学过，只是前两个学段只要求结合实例了解线段等相关概念，侧重直观认识，现在是比较系统地学习和更加深入地认识.本课在引导学生进一步认识线段的有关概念时，仍然建立在感性认识的基础上，坚持在实际背景中理解线段长短的比较方法，经历线段的长短比较方法的概括过程，并不使用严格的几何推理方法展开学习.这样的要求，很好地保护了学生初学几何的积极性.

6.4 合理应用信息技术

本课根据教学内容及学生实际充分利用信息技术工具，帮助学生从比较身高的活动中抽象出几何图形.利用几何画板软件，通过图形的动态演示，让学生感受线段大小关系的变化、线段和差关系的不变，感受图形变化中蕴含的不变性.随着动点不断逼近中点位置，领会特殊与一般的关系，初步感受极限思想.

1 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京：北京师范大学出版社，2011

2 新时代数学编写组编.义务教育教科书数学教师用书.七年级.上册[M].上海：上海科技出版社，2016.8:191-207