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——例谈圆锥曲线统一方程在切线问题中的应用

安徽省滁州中学

郭守静 (邮编：239000)

文[1]中介绍了圆锥曲线的离心率与统一方程,如图1，取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，点F(O)为坐标原点，建立直角坐标系，利用圆锥曲线的统一定义：

M∈{M||FM|=e|MH|}

其中e为圆锥曲线的离心率，定义p为圆锥曲线焦点到相应准线的距离.经过计算可以得到圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程：

(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0.

图1

课本中作为阅读与思考给出圆锥曲线的统一方程，课堂教学中笔者利用此结论，结合高考试题，论证圆锥曲线中具有统一性质的问题.本文通过几个具体实例谈谈圆锥曲线统一方程在切线问题中的应用.

引理已知圆锥曲线C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)，则称点P(x0y0)和直线l：Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.

(1)若极点P在曲线C上，则极线l就是曲线C在点P处的切线；

(2)若过极点P可作曲线C的两条切线，MN为切点，则极线l就是直线MN.

文[2]中对上述引理作了充分的证明，本文就不作细证，由此引理可得对于圆锥曲线的统一方程而言，极线l：(1-e2)x0x+y0y-pe2(x0+x)-p2e2=0.

应用1圆锥曲线统一方程在切线问题中过定点问题

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

图2

文[3]对本题作了详细的证明，并由此题探究出圆锥曲线的统一完美的性质：如图2，已知点P是圆锥曲线C上一点，若曲线C在点P处的切线与曲线C的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆恒过该准线对应的焦点.

现用圆锥曲线统一方程可证明如下：

取过焦点F，且与准线l(与焦点F相对应的)垂直的直线为x轴，点F(O)为坐标原点，建立直角坐标系.

设P(x0,y0)，椭圆的方程为：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0.

则切线PQ的方程为：(1-e2)x0x+y0y-pe2(x0+x)-p2e2=0

①

所以以PQ为直径的圆恒过该准线对应的焦点.

应用2圆锥曲线统一方程在切线问题中过定值问题

(1)求双曲线C的方程；

(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线

现用圆锥曲线统一方程可证明如下：

圆锥曲线的统一方程：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0

②

P(x0,y0)为圆锥曲线上一点，则在P点处的切线方程为

(1-e2)x0x+y0y-pe2(x0+x)-p2e2=0

③

③中令x=-p，则-(1-e2)x0p+y0y-pe2(x0-p)-p2e2=0，

④

结合试题1、2，我们可以看到圆锥曲线统一方程在解决切线问题时有其特有的优势，课堂教学中以课本为主体，可以进行适当的拓展。对于圆锥曲线的统一方程:

(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0.

当01时，此方程表示双曲线；当e=1时，此方程表示抛物线.

应用3圆锥曲线统一方程在切点弦问题中的应用

图3

本题是文[5]中对圆锥曲线切线的统一性质的探究，现用圆锥曲线统一方程来尝试解决.

图4

解(1)如图4，取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，点F为坐标原点，建立直角坐标系设P(x0,y0)，椭圆的方程为：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0.

则直线AB的方程为：(1-e2)x0x+y0y-pe2(x0+x)-p2e2=0

⑤

由题直线AB过点M(-p,0)，代入直线方程可得：

-(1-e2)x0p-pe2(x0-p)-p2e2=0，

化简得到：x0=0，故PF⊥x轴.

(3)将x0=0代入⑤中得：y0y-pe2x-p2e2=0，联立

由C为AB的中点可知

代入直线AB方程可得

由P(0,y0)，

即kPC=kPO，所以直线PC过原点.

受到篇幅限制，本文对双曲线和抛物线就不做详细论证，有兴趣的读者可以尝试一下.圆锥曲线具有许多的统一性质，而我们在研究相关问题时，可以借助圆锥曲线的统一方程来解决.在上述问题中，已知条件有焦点和焦点对应准线，此时用统一方程很方便.笔者也将会继续探究圆锥曲线统一方程的应用，并在课堂教学中积极探索，探求其规律性，拓展学生思维，激发学生学习解析几何的兴趣.也希望通过本文，能和广大读者一起探讨圆锥曲线的奥秘.

1 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1[M].北京：人民教育出版社，2007

2 邹生书.圆锥曲线极点与极线的一组性质[J].中学数学教学，2010(4)：22-23

3 邹生书.对2012年高考福建卷理科解析几何题的研究[J].数学教学,2013(1):17-19

4 黄永生 杨丹.一道2014年江西高考题的推广[J].福建数学教学，2014(7,8):22-24

5 邱波.圆锥曲线切线的一个统一性质[J].数学通讯,2013(10):45