函数极值点偏移问题的另一求解策略

宁夏彭阳县第三中学

王伯龙 (邮编：756500)

在函数求解中有一类问题，它们先增后减或先减后增，且在极值点两侧的增减速度不相同，一侧快一侧慢，因而极值点并不在定义域的中心位置，而是向一侧偏移，对于这类函数，经常会遇到“已知f(x1)=f(x2)，求证x1+x2>m，或x1+x2

极值点偏移问题是用导数解决函数问题中的一个难点，也是近年来全国各地市数学模拟训练和高考的热点问题.对于这类问题，文献[1]、文献[2]分别给出了两种不同的处理策略.笔者用《几何画板》作出极值点偏移问题的函数图象，发现其本质上是一条变形的抛物线，这就启发我们考虑用二次函数逼近的思想方法来处理，我们可以构造一个极值点与题中函数的极值点重合，且极值相等的二次函数，通过二次函数的对称性，利用它的函数在极值点两侧的位置关系，就可以解决极值点偏移问题.下面通过例题来展示.

例1(2016年全国高考新课标理数I卷试题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1) 求a的取值范围；

(2) 设x1、x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.

解(1)a的取值范围是(0,+∞)，过程略.

(2) 由(1)知，a>0，因为f′(x)=(x-2)ex+ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

h′(x)=(x-2)ex+ex-e(x-1)

=(x-1)ex-e(x-1)=(x-1)(ex-e)，所以h(x)在R上单调递增，又因为h(1)=0，所以，当x∈(-∞,1)时，h(x)<0，即f(x)0，即f(x)>g(x).由于f(x1)=f(x2)=0，如图(图中实线表示f(x)，虚线表示g(x))，因而必存在x3、x4，使得x2

例2(2010年天津高考理科数学21题)已知函数f(x)=xe-x(x∈R).

(1) 求函数f(x)的单调区间及极值；

(2) 略；

(3) 如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2>2.

解(1)函数f(x)的单调增区间为(-∞,1)，单调减区间为(1,+∞)，f极大值(1)=e-1,过程略.

则h′(x)=(1-x)(e-x-e-1)，于是x∈R，h′(x)≥0，

所以函数h(x)在R上单调递增，又h(1)=0，

因而当x∈(-∞,1)时，h(x)<0，所以f(x)

当x∈(1,+∞)时，h(x)>0，所以f(x)>g(x).由于

x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，如图(图中实线表示函数f(x)的图象，虚线表示函数g(x)的图象)因而必存在x3、x4，使得x2>x4>1>x1>x3，故x1+x2>x3+x4=2.

例3(2011年高考数学辽宁卷理数第21题)已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(1) 讨论f(x)的单调性；

(2) 略；

(3) 若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)<0.

例4(2014年江苏省南通市二摸第20题)设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其图形与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，且x1

(1) 求a的取值范围；

(3) 略.

解(1)a>e2，过程略.

(2) 易知x=lna为函数f(x)的极小值点，且f(x)的极小值为2a-alna，且0

综上所解，若设函数y=f(x)的极值点为

x=x0，那么构造二次函数逼近极值点偏移问题的解题策略可程序化如下：

其实，极值点偏移问题的三种方法都是将两个变元不等式转化为一元不等式.文献[1]是构造对称函数，文献[2]是捆绑构造对数函数，利用对数平均不等式，构造二次函数逼近的方法体现了数形结合的思想，更能贴近学生思维的最近发展区，但f″(x)计算较为复杂时，选择构造二次函数法就不得心应手.至于何时用构造对称函数，何时用对数平均不等式，何时用构造二次函数，值得我们去深思.

1 邢友宝.极值点偏移问题的处理策略[J].中学数学教学参考，上旬，2014(7)：19-22

2 赖淑明.极值点偏移问题的另一本质回归[J].中学数学教学参考，上旬，2015(4)：49-51