让人“防不胜防”的探究题

安徽省宁国中学

陈晓明 (邮编：242399)

在前不久的一次数学课堂上，笔者给出了一道貌似简单的探究题，没想到“一石激起千层浪”，题目解法引起同学们激烈的争论！课堂精彩纷呈，生成不断，带来很多意外发现，大家收获颇多！课后我久久难忘，引起笔者对数学课堂教学的再次思考，一心想再次回味课堂，不断反思，不断提高……

为了保持课堂的原汁原味，还是先回到课堂．

1 课堂实录

首先在黑板上展示题目：

探究题已知二次函数f(x)=x2+px+q在区间(2,3)内有且只有一个零点，则p、q满足什么关系？

接下来教师让学生充分思考，动笔去解，教师在学生中巡视……

还没有等笔者开口说话，平时一向心直口快的小胖陈同学首当其冲．

学生1：我觉得这个题目很简单．直接由零点存在性定理不就行了吗？

由f(2)f(3)<0求得p，q满足的关系是：(2p+q+4)(3p+q+9)<0．

教师：你反应很快，就这么简单吗？

教室此时变得有些安静，同学们总觉得好像哪儿有点不对劲．

就在这时，数学课代表讲话了．

教师：真厉害！想到了可能是不变号零点．

就在我准备鸣锣收兵时，一向比较喜欢动脑的数学小王子举手了．

学生3：答案还不对．这个答案只是二次函数f(x)=x2+px+q在区间(2,3)内有且只有一个零点的充分不必要条件，而不是充要条件．学生2的答案还是漏解了．

他的一番话像平地惊雷，把大家都惊呆了，个个像丈二和尚摸不着头脑！

教师：为什么？你快说说看．

教师：对呀！我还真没想到．那答案应是什么？

看到数学小王子发言了，数学大王子也不甘示弱．

学生4：只要把前面的f(2)f(3)<0改为f(2)f(3)≤0就可以了．

就在大家感到坦然时，一向比较内敛的张同学仿佛也有了激情，她说话了．

学生5：答案还不对．若两个零点是2、5 ，满足条件f(2)f(3)≤0，但在区间(2,3)内没有零点，不满足题意．

听她讲到这儿，大家有些“崩溃”了，真是防不胜防啊！够味！

教师：大家太厉害了！善于动脑，敢于尝试，具有数学家般的发现精神，我都佩服你们了．看谁能最终解决这个问题？

这时课堂变得热烈了，大家都积极行动起来了！

不一会儿，有人举手了．

图1 图2

教师：非常漂亮！数形结合，一目了然！

过了一会儿，又有人举手了．

图3 图4

教师：真是“一波三折”！数学真得很有意思啊！那大家看该再补什么条件？

很快有了结果．

教师：终于尘埃落定，大功告成，这个探究题真是不容易啊！真像沿着一条陌生的河流探险，随时都可能激起美丽的浪花，见到岸边奇特的风景！

讲到这儿，一向喜欢动脑，比较大胆的李同学举手了．

学生9：这儿零点个数若改变了怎么办？

教师：这个问题问得很好，提出问题比解决问题更重要．

接下来教师给出：

变式1 已知二次函数f(x)=x2+px+q在区间(2,3)内有两个零点，则p、q满足什么关系？

变式2 已知二次函数f(x)=x2+px+q在区间(2,3)内没有零点，则p、q满足什么关系？

教师：下面大家仔细研究一下，看看谁能最先汇报研究成果？

接下来同学们争先恐后地研究起来……

课堂充满了浓厚的学习氛围！

过了一会儿就有人汇报研究成果了，而且汇报过程中出现反复的争论和矫正，同样是“一波三折”，最后得出下列结论：

变式2答案

然后再代换成关于p、q的式子．

很快又有同学提问了．

学生10：这儿区间若改变了怎么办？

教师给出又一个变式．

变式3：已知二次函数f(x)=x2+px+q在区间[2,3)内有且只有一个零点，则p、q满足什么关系？ [2,3)还可改为(2,3]，[2,3]．同样零点个数可改变．

教师：变式3作为书面作业留给大家课后完成．

本题其实是二次函数零点的分布问题，对于一般的二次函数，它的零点分布有什么结论？

变式4：对于一般的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，分别在下列情况下求a、b、c满足的关系式．

(1)有两个正零点；(2)有两个负零点；⑶有一正一负零点．

经过学生讨论，很快有了结论：

推广两个零点均比k大(两个正零点其实就是两个零点均比0大)：

(接下来将各式展开，重组，利用韦达定理可得到系数满足的条件)

(2)有两个负零点x1、x2：代数法

推广两个零点均比k小(两个负零点其实就是两个零点均比0小)：

(3)有一正一负两个零点：代数法

推广两个零点一个比k大，一个比k小(一正一负两个零点其实就是一个比0大，一个比0小)：

此时下课铃声响起！

我看到了学生脸上的表情：惊叹之余，有些不舍和遗憾！

2 教学思考

看来，我们教师要充分相信学生，教学中要多给一点学生自由思考的时间，教师不能只按照自己事先想好的思路来教学，否则就会限制学生的思维，强扭学生的思维，题目刚出来就先进行提示或分析，那样做会扼杀学生的自主思维能力，剥夺学生的自由创造空间．在学生还没来得及思考的时候，老师硬是用自己固定的思路框定他们的头脑，使他们服从于已有的模式，这对他们思维能力的形成是个不小的打击．

离开了学生的“自主活动”、“智力参与”、“个人体验”就没有真正的学习了．把课堂还给学生，引发学生积极思维，让每位学生在数学思维的世界里自由地翱翔，向习题课教学要效益，通过问题解决，促进学生对数学知识的理解，让每位学生主动、积极地参与教学．当然，要做到这点，首先教师对习题的本身要有深入的研究；其次，对学生的课堂参与要给予足够的激励和引导．把课堂还给学生，注意倾听他们的声音，点燃他们思维之火．

到这里，我想起叶澜教授曾说：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的因素，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情行程．”[1]

3 结束语

陶哲轩在《解题· 成长 ·快乐》序言中引用古希腊哲学家普罗克洛斯的话：“这，就是数学：她提醒你灵魂有不可见的形态；她赋予自己的发现以生命；她唤醒悟性,澄清思维；她照亮了我们内心的思想；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知……”[2]．笔者以此与各位同仁共勉！在数学中让我们永远带着探寻的目光审视眼前的一切，一定会有惊喜出现！

1 陈晓明．我教书，我写作，我快乐[J]．数学通讯，2016(5)：39

2 张晓东．说题与数学青年教师的专业成长[J]．中学数学教学参考，2015(3)：67