“设而不求”的教学思考

安徽省六安第一中学

鲍远春 (邮编：237009)

1 问题提出

在数学解题过程中，有时需要设立一些题目中没有直接给出的中间变量，这些中间变量可以适时消除而不用求出，对最终解决问题往往起着重要的衔接与纽带作用，这就是“设而不求”.

在高中数学中，最为人熟知的“设而不求”就是涉及直线与圆锥曲线位置关系的一种解题方法：将直线方程与圆锥曲线方程联立方程组→消元得到关于x(或y)的一元二次方程→设交点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)→结合判别式△>0，利用韦达定理“设而不求”→…….

然而，调查发现，很多教师在实际教学中赋予上述方法“至高无上”的地位，并通过训练强化这种固定的模式程序，学生在对其“牢固掌握、熟练运用”的同时，解题能力却没有得到应有的提高，反而抑制了自己思维的发展，解方程(组)等基本技能也因此而被极度弱化.

笔者认为，任何一个解析几何问题都是通过几何图形代数化、代数结果几何化以及代数运算(简称“两化一算”)而加以解决的，解方程(组)、解不等式、化简、消元等代数变形应该是解析几何的基本技能.“设而不求”只是特定条件下的一种解题技巧，并不是处理解析几何问题的通性通法.即便仅限于向学生传授这种解题技巧，解析几何中的“设而不求”也不仅仅是利用韦达定理，另外，“设而不求”在解决三角、代数等问题时也有着重要的作用.作为教师，对此应有全面的理解和认识，不能以偏概全，更不能绝对化.

比如，“曲线的方程”与“方程的曲线”是解析几何的核心概念，在解题中具有重要的应用价值，但实际教学中普遍对此重视不够.事实上，可以利用“点P(x0,y0)在曲线C：f(x,y)=0上⟺f(x0,y0)=0”，将曲线上点的坐标代入曲线方程，然后对几个式子从整体上进行代数变形，最终获得想要的结果.在此过程中，曲线上点的坐标很多时候也是“设而不求”.

2 案例分析

例1已知两条直线l1：a1x+b1y+1=0，l2：a2x+b2y+1=0相交于点P(2,3)，求过点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)的直线方程.

解因为点P(2,3)分别在直线l1和l2上，所以2a1+3b1+1=0①，2a2+3b2+1=0②，即点P1(a1,b1)、P2(a2,b2)的坐标均满足直线方程2x+3y+1=0，而两点确定一条直线，故所求直线方程即为2x+3y+1=0.

点评在解题过程中，点P1、P2的坐标“设而不求”，首先运用“直线上点的坐标满足直线方程”得到关系式①②，然后分析①②两式在结构上的共同特征，运用“坐标满足直线方程的点在该直线上”从中抽象出直线2x+3y+1=0，即为所求.这种方法需要对“曲线方程”的概念有较深刻的理解.

类似地，读者可以尝试解决如下问题：

我们知道，对于圆x2+y2=r2、点P(x0,y0)及直线l：x0x+y0y=r2，当点P在圆上时，直线l表示以P为切点的圆的切线，求证：

(1)当点P在圆外时，直线l表示从P向圆两条切线时，切点所在的直线.

(2)当点P在圆内时(不与圆心重合)，过P作圆的动弦，弦的两端点处切线的交点也为动点，直线l即为该动点的轨迹.

解设B(x1,y1)，C(x2,y2)，则有

①

②

③

④

点评在解题过程中，点B、C的坐标“设而不求”，利用“点在椭圆上”以及重心的坐标公式得到关系式①②③④，然后灵活地将

分别视为整体，通过整体变形得到直线BC的斜率，结合BC中点坐标即可求得直线方程，解题过程较简洁.

例3设点P(3,4)为圆x2+y2=64内一点，A、B两点都在圆上，且∠APB=90°，以AP、BP为邻边作矩形APBQ，求顶点Q的轨迹方程.

解设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x,y)，则有

①

②

x1+x2=x+3

③

y1+y2=y+4

④

(x1-3,y1-4)·(x2-3,y2-4)=0即x1x2+y1y2-3(x1+x2)-4(y1+y2)+25=0

⑤

⑥

③④⑥代入⑤，整理得x2+y2=103，即为顶点Q的轨迹方程.

点评在解题过程中，点A、B的坐标“设而不求”，利用“点在圆上，则点的坐标满足圆方程”得到①②，利用矩形的特征“对角线互相平分且邻边垂直”得到③④⑤.由于式子较多，变形的方向显得尤为重要：点Q的轨迹方程应只含有x、y，因此要消去x1、y1、x2、y2.消元时应从式子结构上整体把握它们之间的内在联系.

①

②

③

2x0=t(x1+x2)

④

2y0=t(y1+y2)

⑤

将①②③代入上式，有8=t2[4+2(x1x2+2y1y2)].

⑥

⑦

注意到①②中只含有x1、y1、x2、y2的平方项，因此要设法消去⑥⑦中x1x2+2y1y2与|x1y2-x2y1|的乘积项，于是有

(x1x2+2y1y2)2+2(x1y2-x2y1)2

点评若设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，消元后用韦达定理亦可求解.但需要分类讨论，表达式较为繁琐，计算量也较大.本解法中，①～⑤式的获得非常自然，但如何合理变形并不容易，特别是探索x1x2+2y1y2与|x1y2-x2y1|之间的隐含关系，只要突破了这个“瓶颈”，解题过程就会顺畅、简明得多，真正体现出“思维量大，运算量小”的特点.

除了利用韦达定理、“曲线与方程”的概念，解析几何中的“设而不求”还有相关点法、交轨法、参数法等等，不再一一赘述.下面举例说明“设而不求”在三角、代数中的应用.

又

综上，函数

的值域是[3,5].

点评很多学生会因为本题中的辅助角不是特殊角而陷入解题困境，事实上，只要对辅助角“设而不求”，紧扣其满足的条件，换元后利用基本的三角函数y=5sint的图象，结合三角运算(这里用到了诱导公式)，便不难求出函数的值域.

例6(2013全国新课标Ⅱ理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

解(1)略；

(2)函数f(x)的定义域是(-m,+∞)，当m≤2时，f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)>0.

所以

从而m=2时，f(x)>0.

综上，当m≤2时，f(x)>0.

3 教学思考

综合上述分析，对于“设而不求”，我们应形成以下两点基本认识：

第一，教学定位要科学，理解问题要全面

以解析几何为例，通过解方程(组)求出点的坐标应该是最基本、最重要的方法，应居于教学的核心地位，这一点在教材的例题处理中体现得非常明显.因此，教学中不能一味地灌输“设而不求”的解题思想，反而丢失了教学中最根本的东西.现实中，学生想不到解方程(组)、不愿意解方程(组)、不会解方程(组)、对整体消元束手无策等情形并不少见，不能不说与教师对“设而不求”的定位不科学有较大关系.

就“设而不求”本身而言，它也具有应用的广泛性，充满了思辨性、灵活性和创造性，教师在教学中(特别是高三复习阶段)应从数学学科整体的高度引导学生全面地、辩证地进行理解，而不能用固化的、单一的模式禁锢学生的思维，用机械呆板的模仿代替富有活力的思考.

第二，教学重点要突出，学习难点要突破

“设而不求”的教学重点，首先是“设什么”、“怎么设”的问题，这是解决问题的起点；其次是列式的问题，即如何提取条件中的关键信息并恰当地加以形式化；最后是代数变形的问题，既涉及到变形方向与目标，又涉及到变形方法与手段，往往需要从整体上进行思考，通常也是学生学习的难点.

突出重点、突破难点的关键在于教师要践行科学的教学理念.教师要真正尊重学生在课堂上的主体地位，坚决摒弃“告诉教学”，而是着眼于引导学生充分暴露自己的思维，进而师生共同对学生的“相异构想”进行讨论、辨析，对正确的想法予以肯定，对错误的思考予以纠正，对出现的障碍予以化解，通过变化问题情境实现正迁移，让学生亲历独立审题、尝试解题、观点碰撞、克服困难的完整过程，借此完善自己的认知结构，提高自己的解题能力、改善自己的思维品质.