“想当然”的结论并非是理所当然的
——一道函数参数问题的“去伪存真”

福建省泉州第一中学

张国川 (邮编：362000)

最近笔者所在学校进行小题训练，一道选择题的错误率之高引起笔者的关注，过后对该题进行深入思考，理顺了错误的根源，完成试题解答.

1 错因分析,避免重蹈覆辙

错解1

则cotx∈(0,1],故a<0.没有正确选项,原因何在?

解后反思错解1的归因是错误地认为:递增函数与递减函数的乘积必定是递减函数,该结论未必成立.以水塔进水过程为例,假如水塔有两个流通管道口,一个进水口,一个出水口,当进水速度快于出水速度时,水塔中的水平面一定是上升的,反之,当出水速度快于进水速度时,水塔中的水平面一定是下降的.

错解2

2 拨乱反正,体验柳暗花明

正解1

为了避免陷入“小题大做”的陷阱,又能精准选出正确答案,采用排除法的选择题常用方法.

修正错解1的思路,仍然采用导数法，得

f′(x)=ex[sinx+cosx+a(cosx-sinx)]，

cosx-sinx<0,只需a<0就能满足f′(x)>0,则f(x)单调递增.观察发现选项C,D均不含负数,排除C,D,反观选项A,B差异性在于是否包含1.检验发现当a=1时,f′(x)=2excosx>0,选项A.满足条件.

该解答采用估算法,特值检验等办法,通过排除不合题意选项,选出正确选项.

正解2

对上述正解1的导数法进一步优化,得

解后反思利用导数解决参数取值范围的问题,往往都要进行分类讨论,为了避开分类讨论的麻烦,常采用参变分离法,使得问题快速解决.

正解3

对错解2的部分解答进行修正,避开“想当然”的错误,得到正解3,叙述如下:

3 步步剖析,构建解题反思体系

在平时教学中非常重视学生的解题反思,引导学生对做过的错题进行分类整理,做好错因分析记录、经验教训总结、解题方法归纳，建立数学错题集，形成个人数学学习档案.用好错题集有效避免同类型题目“一错再错”，对提高数学成绩很有帮助，也便于理解掌握解题学理论的应用.

反观本文试题解答过程,思路呈现清晰明朗,在错误中寻找错因并寻求突破，寻找科学合理的解题办法.发挥发散性思维的作用,解题时多角度思考,多维度拓展,建立知识间的紧密联系,理解并清楚地掌握某种题型的解题步骤,通过解题熟练再现知识结构图，回笼知识形成体系,在解题中学,解题中悟,在反思中成长,并加深对解题理论的理解，提高数学的解题能力,提升数学核心素养.

数学解题流程图

数学主要靠解题锻炼人的各种思维品质，通过解题有利于加深对定理、定义的理解，因此研究解题方法十分必要.锻炼思维的灵活度，学会分析问题、解决问题是未来数学学习的主要任务，而非通过大量的题型机械式训练，“题海战术”不可取，“刷百题不如解一题”便是这个理，这是本文笔者极力推荐的数学学习价值观.