一个三元轮换不等式的手工证明

四川成都实验外国语学校

宿晓阳 (邮编：611731)

题1设a、b、c是正数，求证：

此题是一道已有的习题，国内流行的三本不等式专著[1]、[2]、[3]都有证明.但[1]、[2]的证明是错误的，[3]的证明利用了Vasile不等式.本文将给出此不等式的一个简洁的手工证明.供参考与欣赏.同时为我们的英才教育提供一点新鲜血液！

先证明下列命题

题2设a、b、c是正数，则

①

其中∑表示轮换对称和.

证明①式两边平方，易知①⟺

②

由排序不等式 ，有

于是由上式知，欲证明②式，即证明

③

所以③式⟺

④

欲证明④式，即证明

⑤

3x4-4x3y-14x2y2+8xy3+24y2≥0⟺

(x-2y)2(3x2+8xy+6y2)≥0.

再证明题1在①中作作变换(a，b，c)→(a2,b2,c2)，易知①式等价于

⑥

又由二元柯西不等式，有

(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2，

⑦

于是比较不等式⑥，⑦即知题1成立。

注：笔者在二十多年前提出并证明的下面不等式(发表在《数学通报》数学问题栏目上)，

结合题1，我们提出下面不等式猜想：

设a、b、c是正数，n是正整数, 则

1 杨学枝.数学奥林匹克不等式研究[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2009

2 范建熊[越南].隋振林,译.不等式的秘密[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2012

3 韩京俊.初等不等式的证明方法[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2011