计算教学中的创新思维培养

摘 要：乘、除法是学生学习了加、减法之后再学习的新运算。学生学习乘、除法需要更多的数学理解，要以新的思维方式进行思考。一般认为，学生学习乘、除法是计算概念的一次扩展，是认知上的一次飞跃。在学生学习乘、除法之前，应当进行铺垫性训练，以降低学生在学习新知识第一时间所产生的难度，提高新知的掌握水平。同时，乘、除法的学习拓展了学生的数学视野和应用数学的空间，教学中应当重视培养学生的数学思维，特别是推理能力。

关键词：创新思维 数学理解 拓展

乘、除法是学生学习了加、减法之后再学习的新运算。学生学习乘、除法需要更多的数学理解，要以新的思维方式进行思考。一般认为，学生学习乘、除法是计算概念的一次扩展，是认知上的一次飞跃。在学生学习乘、除法之前，应当进行铺垫性训练，以降低学生在学习新知识第一时间所产生的难度，提高新知的掌握水平。同时，乘、除法的学习拓展了学生的数学视野和应用数学的空间，教学中应当重视培养学生的数学思维，特别是推理能力。

1 乘、除法学习的铺垫性训练

乘法涉及两个数，分别是每个集合中物体的个数和集合的个数，即通常教学中所说的相同加数和相同加数的个数。乘法是表示同数连加的一种方法，求几个相同加数的和可以用乘法计算，这说明乘法与加法密切联系。但是，与加法相比较，由于乘法中每个数所起的作用不同，理解乘法中每个数是如何联系的，对学生的抽象思维能力要求更高。因此，在正式学习乘法之前，有必要安排一些铺垫性的训练。

1.1 乘法的铺垫训练

1）同数相加。乘法的本质是一类特殊的加法，这里所指的特殊就是加数相同。例如，结合图示直观，初步感知每份量、份数与总数之间的关系。把同数相加的问题情境转译成“几个几相加等于几”，为学习乘法的含义打下基础。2）一与多对应。一与多对应是指一个与多个相对应，它是学生遇到的比较簡单的乘法形式，如1辆汽车有4个轮子，就是这种对应关系。日常生活中这种例子比比皆是。例如，在正式学习乘法之前，让学生通过数每个集合中物体的个数与集合的个数，体会这些数的含义以及它们之间的关系，为学习乘法积累活动经验。3）递推计算。这里所指的“递推”不是指演绎推理中的递推关系，而是在同数相加的计算中，基于已有的计算结果，结合相同加数个数的变化推算出新的得数。这种训练结合20以内的进位加法进行，使学生在熟练加法计算的同时，获得对相同加数、相同加数的个数等概念的初步理解。随着学生认数范围的扩展，这类铺垫可以结合不同的基础进行。例如，学习两位数加一位数之后安排：

联系进位加法的学习安排：

1.2 除法的铺垫训练

除法学习的早期铺垫主要包括两个方面：一是理解除法的上位概念——平均分，二是积累把物体平分的活动经验。这两个方面是相互联系的，在实际教学中也可以结合在一起进行。例如，教学时，可以呈现几种不同的分法，如通过正反两种例子的比较，帮助学生建立平均分的概念。进一步，可引导学生通过画图或操作学具，把物体拆分成相等的集合。平均分对儿童来说是很生动的数学活动，在平均分活动中，需要考虑三个因素：一是全体的大小，二是分为几部分和每部分的大小，三是各部分必须相等。这些思考构成了理解平均分的基础。平均分通常有两种含义：一是多个物体的平均分配，二是一个物体的平均分。前者是认识除法的基础，后者是认识分数的起点。一般在学习除法之前只讲前者，对于基础较好的班级，也可以适当考虑后者。例如，让学生判断下图中哪些是把长方形平均分：乘法是加法的重复，除法也可以看作减法的重复，乘法和除法的实际计算结果可以由连加或连减导出。这些运算之间的联系，可以通过问题情境的驱动与形数结合的方式，让学生感受和体会。需要说明的是，以上这些铺垫训练都是结合不同学习阶段的重要基础进行的，这样既可以巩固当前的学习基础，又不会增加学习负担。换句话说，我们所强调的早期铺垫，侧重于从知识内在联系的角度设计，而不是为了新知学习提前重新构建一个基础。

2 表内乘除法练习中的思考性训练

用横排的方式学习乘法口诀，以“同数相乘”作为“几”的口诀起始句。在学习2～4的乘法口诀时，结合“乘加”、“乘减”的学习，引导学生推导乘法口诀，理解乘法口诀的相互联系。

学习7，8，9的口诀时，只剩下6句。借助正方形格子图的直观，引导学生编写同数相乘的口诀：先利用正方形内8行8列的格子引出8×8=64，八八64，再将其内缩一行一列编“七七”的口诀，外扩一行一列编“九九”的口诀。进而以同数相乘的口诀为基础，利用乘加、乘减计算推导出另外三句口诀。在教学5～9的乘法口诀时，用口诀求积与用口诀求商相结合，相互促进，进一步理解乘、除法的关系。乘、除法的问题情境丰富多变，如乘法主要有四种情境，分别是等组、倍数比较、矩形队列、搭配（笛卡尔积），这些情境为设计多样的练习提供了资源。教学中，教师应当提供不同的问题情境，丰富学生对乘、除法的理解，使学生有机会在学习乘、除法的过程中，培养灵活的思维能力，学习重要的数学思想。乘、除法联系着许多重要的数学概念和数学思想，如倍数、比例、函数思想等。这些知识可以整合在表格式的应用问题中加以渗透。例如，学习4的乘法口诀时，可以安排：这里创设了两个量“共变”的情境，学生需要考虑变量之间是如何联系的，初步体会函数关系，并可为理解比例关系打下基础。乘、除法学习联系广泛，教学时应当有目的地开展数学活动，通过设计有针对性的练习，培养不同的数学能力。例如，同样是形数结合，可以安排：这里创设的两个问题情境都需要学生自己构建算式，但侧重的基础和培养的能力不一样。前一个是乘法中较为基础的等组情境，但因为需要空间观念而增加了思考性；后一个是乘法中的倍数比较，把计算建立在图形合与分的基础上。在乘、除法的学习中，对倍数概念进行正向和逆向的应用，可以培养学生的推理能力。推理是人们获得新知的重要手段。任何推理都由两部分组成，一部分是推理所依据的已知判断，即前提；另一部分是推出的新的判断，即结论。根据前提与结论不同的联系方式，可以设计出不同形式和不同层次的乘法推理练习。

2.1 一对多的推理。

每份量（1条裙子的价格）联系着已知条件（前提）与所求问题（结论），根据条件与问题之间的直接联系构建乘法算式。在学生学习到一定阶段，可逐步抽象化，以图形推算的形式呈现，并用逻辑联结词联系条件与问题。例如，

如果★=▲▲▲，那么9个★=□个▲。

2.2 三段推理。例如，如果■=★×4 ，★=▲×9，那么■=□个▲。

由两个条件作为前提，根据两个条件之间的联系，构建新的条件（结论）。

2.3 对应推理。

根据每份对应量的差不变，感知“每份量的差×份数=总数差”的数量关系。掌握这种数量关系，可以解决较复杂的问题，如下面的差对应问题：4. 关系推理。例如，

已知▲×●=24。如果▲-●=5，那么▲+▲+●=□；如果▲-●=2，那么▲+▲+●=□。根据数与数、式与式之间的关系，推算出图形表示的数。

有些数学问题之所以复杂，是因为解决问题所需要的条件不是直接知道的，或者说被隐蔽起来了。解题的关键是发现条件之间的关联并推导新条件，这往往需要推理能力的支持。即使是较简单的数学问题，这种能力也可能是解题的关键。如归一问题：

如果■=21，那么■表示多少？解题时需要根据已知条件构建出一个新的条件，即每个正方形表示21÷3=7。

总之，乘、除法的学习，不只是掌握运算技能，还要通过丰富多变的练习，培养学生的思维能力，特别是要重视运用抽象的推理解决问题。

参考文献

[1]史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]张春莉.小学数学能力培养[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[3]李鹏.浅谈小学数学教学中如何开发学生的智力[A].全国第二届智慧学学术研讨会论文集（3）[C].2004.

作者简介

刘佳（1975-），女，汉族，新疆乌鲁木齐，小学数学教师，一级教师。