基于障碍李雅普诺夫函数非线性系统的死区补偿控制

刘磊

摘要 本文集中在帶有部分状态约束的非线性单输入单输出系统的自适应控制器设计上.考虑了非对称死区的非线性输入特性，选取障碍李雅普诺夫函数用来阻止部分受约束的状态违反约束条件.根据障碍李雅普诺夫函数反步法，解决了该类系统的输出跟踪问题，同时也处理了死区非线性带来的影响.针对下三角结构的非线性系统，设计了自适应控制器，证明了闭环系统所有信号都是有界的，同时保证了系统输出可以跟踪上参考信号.最后，仿真结果表明了所提方法的有效性.

关键词

约束控制;障碍李雅普诺夫函数;死区非线性输入;反步法

中图分类号  TP13

文献标志码  A

0 引言

受约束的系统普遍存在于现实中的许多物理系统中.例如在静电微驱动机构中，可移动电极的速度和位移必须受到约束以防止该电极触碰到固定电极.实际控制系统中，为保证系统的安全运行，对系统中的各变量进行恰当的约束变得十分有必要.通常而言，系统的超调量不能过大，否则会导致系统的运行状态非常不理想甚至会导致系统不稳定.如何快速有效地处理控制系统中的约束问题也是工业过程控制中一个很重要的工作.基于障碍李雅普诺夫函数（BLF） 的控制设计方法能有效处理一类约束问题.其基本思想是当自变量的值趋于某些区域边界时，BLF的值趋于无穷大.通过保证BLF的有界性，可以达到限制系统状态的目的.

具体而言，基于BLF的控制方法大致可以总结为三类：输出约束控制、全状态约束控制和部分状态约束控制.输出约束控制要在系统稳定性分析的基础上确保系统的输出保持在一定的约束范围之内.文献[1]解决了严格反馈系统的输出约束问题，分别利用传统的BLF以及对称BLF，基于backstepping方法，提出了相应的自适应控制策略.全状态约束控制需要在确保系统稳定的同时保证所有的状态都满足一定的约束条件.文献[2]针对一类带有参数不确定的随机非线性系统，利用对称BLF和非对称BLF，提出了两类自适应控制算法，确保了系统的稳定性.文献[3]提出了严格反馈系统的自适应全状态约束控制方案，解决了控制方向未知的问题.部分状态约束控制是解决控制系统里只有一部分状态需要满足一些特定的约束条件（且保证系统的稳定性）的方法.事实上，输出约束控制和全状态约束控制可以看成是部分状态约束控制的特殊形式[4] .虽然约束控制的研究日趋成熟，但是，很多已有成果都忽略了死区非线性输入的现象[5-6] .

死区是一种典型的非线性输入形式.由于执行器物理限制、机械设计和制造等方面原因，死区输入特性不可避免地存在于实际控制系统中，并且会造成闭环控制系统的性能下降，甚至导致系统不稳定.因此，近年来关于具有死区非线性输入特性的动态系统的研究受到广泛重视，并且取得了一些研究成果[7-8] .文献[9]利用死区特性里斜率有界的性质，提出了基于小增益定理和状态观测器的鲁棒模糊自适应输出反馈死区补偿控制策略，并确保系统里所有的信号都是半全局一致最终有界的.然而，以上成果都是针对存在对称死区的执行器进行探讨的，而许多实际的机械系统中经常存在不对称死区机构，为了克服这一局限性，文献[10]详细给出了非对称死区的具体模型，针对三角结构的互联非线性系统，提出了分散式自适应镇定控制器的设计方法.不过，这些已有方法[8-10] 并没有考虑状态约束问题.当系统的部分状态也必须满足一定的约束条件时，如何设计有效的自适应控制器来补偿死区现象仍未解决.

本文在障碍李雅普诺夫函数的基础上，针对一类带有部分状态约束的非线性系统，设计自适应死区补偿控制器，解决该类系统的输出跟踪问题.通过稳定性分析，证明了系统所有的信号都是有界的.与现有结果对比，本文在部分状态约束控制问题中，引入非线性死区特性，结合自适应辅助信号，克服了传统部分状态约束控制中难以补偿死区的难点.最后，数值仿真结果验证了所提方法的有效性.

1 问题描述

考虑如下严格反馈单输入单输出系统

在此仿真中，初值选取为x 1（0）=0.2，x 2（0）=0.15.相关设计参数为μ 1=10，μ 2=20，γ=0.5，k 1=2.2，k b 1 =2.

图1—4为仿真结果.图1为系统的跟踪曲线，很显然，系统的输出能跟踪上参考信号，并且保证系统的第一个状态 x 1在其给定的约束界以内.图2给出了η 2的轨迹，表明η 2 是有界的.另外，图3给出的是控制器的图象.图4描绘的是本仿真中的相位图.通过图1—4，可以看出这些信号都是有界的.

4 结论

本文提出了基于障碍李雅普诺夫函数方法的非线性单输入单输出系统的自适应部分状态约束控制器，并对非对称死区设计了补偿控制策略，有效解决了该类系统的输出跟踪问题.根据障碍李雅普诺夫反步法，通过稳定性分析，证明了闭环系统内所有信号都是有界的.该方法建立了下三角结构系统的部分状态约束控制方案，实现了该类系统的死区补偿控制.最后，通过仿真算例验证了本文所提方法的有效性.

参考文献

References

[ 1 ] Tee K P，Ge S S，Tay E H.Barrier Lyapunov functions for the control of output-constrained nonlinear systems[J].Automatica，2009，45（4）：918-927

[ 2 ] Liu Y J，Lu S M，Tong S C，et al.Adaptive control based Barrier Lyapunov functions for a class of stochastic nonlinear systems with full state constraints[J].Automatica，2018，87：83-93

[ 3 ] Liu Y J，Tong S C.Barrier Lyapunov functions for Nussbaum gain adaptive control of full state constrained nonlinear systems[J].Automatica，2017，76：143-152

[ 4 ] Tee K P，Ge S S.Control of nonlinear systems with partial state constraints using a Barrier Lyapunov function[J].International Journal of Control，2011，84（12）：2008-2023

[ 5 ] Liu L，Wang Z，Zhang H.Adaptive fault-tolerant tracking control for MIMO discrete-time systems via reinforcement learning algorithm with less learning parameters[J].IEEE Transactions on Automation Science and Engineering，2017，14（1）：299-313

[ 6 ] Li Y，Tong S，Li T.Composite adaptive fuzzy output feedback control design for uncertain nonlinear strict-feedback systems with input saturation[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2015，45（10）：2299-2308

[ 7 ] Tong S，Li Y.Adaptive fuzzy output feedback control of MIMO nonlinear systems with unknown dead-zone inputs[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2013，21（1）：134-146

[ 8 ] Liu L，Liu Y J，Chen C L P.Adaptive neural network control for a DC motor system with dead-zone[J].Nonlinear Dynamics，2013，72（1/2）：141-147

[ 9 ] Li Y，Tong S，Liu Y，et al.Adaptive fuzzy robust output feedback control of nonlinear systems with unknown dead zones based on a small-gain approach[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2014，22（1）：164-176

[10] Yoo S J，Park J B，Choi Y H.Decentralized adaptive stabilization of interconnected nonlinear systems with unknown non-symmetric dead-zone inputs[J].Automatica，2009，45（2）：436-443

Barrier Lyapunov function based compensation control for a

class of nonlinear systems with dead zone

LIU Lei 1

1 College of Science，Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001

Abstract  An adaptive controller design for a class of nonlinear single-input single-output systems with partial state constraints is presented in this paper.The approach adopted is to consider the asymmetric dead zone of the non-linear systemsand employ the barrier Lyapunov function（BLF） to prevent partial states from transgressing the constraints.Using a BLF-based backstepping technique，a good tracking performance is obtained and the non-linearity of the dead zone is addressed.For the triangular system，an adaptive controller is designed.It is shown that all the signals in the resulting closed-loop system are bounded，and the system output can track the reference signal.The simulation results show the effectiveness of the proposed method.

Key words  constrained control;barrier Lyapunov function;dead zone nonlinear input;backstepping method