抛物线点差法巧解斜率问题

代宇晟

摘 要 在圆锥曲线试题中，我们常常会使用点差法处理与中点、斜率相关的条件。然而点差法更多是使用在椭圆和双曲线中。对于抛物线，点差法同样可以用来求解斜率，使运算得到较大的简化。

关键词 点差法 斜率 抛物线 待定系数法 定点问题

中图分类号：G633 文献标识码：A

例1：过抛物线上的一点任作两条相互垂直的弦，，问直线是否过定点

解法一：半联立

解：设

当时恒成立

直线过定点（10，-4）

解法二：抛物线点差法

解：设

由此可推出，若直线与开口向右的抛物线交于两点

则恒有

在抛物线上

设

又，即

与联立得到：

代入，得到

即

直线为

所以直线方程成立

恒过点

由本例题可以发现，在抛物线中使用点差法求解斜率，计算过程非常简洁。对于抛物线中涉及多条直线斜率运算的问题，该方法为不二之选。

例2：曲线，在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE斜率为，并满足，试推断有何变化规律。

解：此题应用抛物线点差法即可快速求解

已知：，

设

由于点差法上题已证，此处直接应用结论

又

又直线

时直线方程成立

直线恒过点（-1，-2）

做了以上两道例题，我们发现一个小结论：过抛物线上一定点，作两条直线，斜率分别为，两条直线分别于抛物线交于两点。当或者为定值时，直线必過定点。不妨推导一下上有一定点，任作两条弦PA，PB，使得，则AB过定点

同理

代入化简

所以过定点

同理，若将改为

则有AB过定点

代入化简

所以定点为

其实，以上小结论不光针对抛物线，对于椭圆和双曲线也同样成立。换句话说，它是圆锥曲线的一个普适结论，最近的2017高考新课标乙卷就以该结论出题，题目如下：

例3：已知抛物线过点P（2，0）作不垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，F为抛物线焦点，再分别作直线AF，BF与抛物线交于点M，N，设直线AB，MN斜率分别为，求证为定值。

解：设

同理直接应用结论

此时应通过联立AM的方法来求出的关系，从而实现消元求解

首先确定一个小结论：设

为直线的横截距。即：直线与抛物线（开口向右）交于两点，纵坐标乘积等于

同理

由抛物线点差法可知：

此题较为复杂，若用传统方法联立的思想，需要利用直线和抛物线联立，出坐标之间的关系，再将分别于抛物线联立，表示出两点坐标，再求出斜率，最后进行消元求解。整个过程非常复杂，在考场上时间紧张，几乎不可能完成，而此类题往往分值较大，失掉非常可惜。可见，熟练掌握抛物线点差法是攻克此类题型的关键。