数学实验：儿童数学经验的原点式突围

徐建林

【关键词】数学实验 数学经验 原点式突围

数学实验作为当今数学教育的研究热点，经常被提及。从广义而言，每个数学学习阶段对“数学实验”的解读不尽相同，但其本质都指向学生猜想与验证的科学发现路径。早在20世纪50年代，苏联教育家凯洛夫在《教育学》中就提出：“教学过程中要发挥学生学习的主体性，学习应从接受性的学习变为创造性的学习，把教师的传授从再现型的教学变为发现型的教学。”在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，首次明确提出了“基本活动经验”，数学实验不仅让发现式教学找到了可实现的支点，并作为儿童构建数学活动经验的有效手段，让我们得以再度审视儿童学习中的“间接经验”与“直接经验”的辩证存在，更据此进一步寻求现有认知经验下的突围。

一、引发经验突围的数学实验的课例追思

《平面图形的复习》一课是苏教版数学六年级下册中的教学内容。在本课中，教材主要针对学生在小学阶段所有学过的平面几何知识进行梳理，其内容版块主要是：（1）直线、射线、线段;（2）角;（3）三角形、四边形、圆。就教材的编排而言，既按照了学生学习知识的时间先后顺序，又遵循了由易到难的认知规律，应该是非常妥帖的。对此，笔者分别在本区3所学校进行试教（本校、市属小学、农村校），在试教的过程中，当学生完成了关于线的相关问题后（图1），便按照教材要求完成书本指定的练习（图2）。

在两个生活实践题的反馈上，三所学校学生的问题几乎全部一致，知道结果却不知道蕴含什么数学原理。如第一个问题，在试教中，学生几乎第一时间内不假思索地回答把木条钉在墙上至少需要两枚钉子，但询问原因时，学生皆面面相觑，虽然在我的再三启发下，勉强能和线段的知识结合起来，理由是线段有两个端点，所以是两枚钉子，即便如此，但是离标准答案“两点之间有且只有一条直线”还相差甚远。课后，我进行抽样访谈，很多学生表示知道“两点之间有且只有一条直线”这句话，但都很为难地表示“真不知道”或是“真想不到”会用在这个生活事例中。

翻阅欧几里得的《几何原本》，“过两点能且只能作一条直线”作为一条公设提出，公设是几何学里不需要证明的基本原理，即现代几何学的公理，如此浅显的一条公设为什么会难住如此多、已富有诸多生活经验（数学经验）的六年级学生。笔者认为原因有二：

1.学习经历问题

回顾这一公理的得出，在小学低年级阶段，它是依托学生不断在两点间画直线得到。对于儿童来说，哪怕最浅显的道理，我们总会让学生有经历操作的过程，所谓：“我听过了，我就忘了;我看见了，我就记得了;我做过了，我就理解了。”但是总复习中知识是点状式分布的，更多的是概念特质的抽象再现，剥离了具体的操作，学生则无法理解具体生活背后抽象的数学原理。

2.认识水平问题

小学阶段学生的思维水平由前运算阶段发展到具体运算阶段，这其中还涉及学生语言思维水平的发展。生活是丰富多彩的，但其背后蕴含的数量关系和空间形式对学生而言又是极为抽象的，现有思维尚不能支撑其自如地游走在具体的生活世界与抽象的数学世界中，学生无法抽象生活元素，自然无法用语言表达。

因此在纷繁的现实生活与抽象的数学世界中，必然需要以数学实验为认知桥梁，便于学生整合碎片化的经验，从而实现经验的原点式突围。

二、实现经验突围的数学实验的教学实践

德国哲学家康德《纯粹理性批判》一书中直指“经验”的要害说：“人的认知绝非仅仅局限在经验这个领域内。经验会告诉人们是什么，却不会告诉人们它一定会是什么而不会是其他什么，因此知识不会在经验中就能够得到满足的。”从这个角度而言，经验是会对人造成认知局限的，同时基于试教时发现的有经验却无法连接的问题。笔者尝试将《平面图形的复习》变成实验课并取名为《跑动的小“·”》，在教学实践中我发现这样的创设，不仅很好地克服了复习只是为了唤醒经验，知识点状式再现的单维现象，更创生出了儿童数学经验再发生、再发展、再创造的多维价值。

1.数学实验应架在儿童的具体抽象渐变区，让理解再丰富

数学来源于生活，又高于生活。抽象是数学学科的重要特色之一，为了实现数学与生活的无缝链接，我首先出示课题《跑动的小“·”》，让学生读题，当学生读到“·”时纷纷既惊喜又疑惑地问：“这是什么呢？”我顺势引导学生从平面图形的角度去想并提问：“同一平面上有点A和点B，你想到了什么？试着把你想到的画下来。”接着学生依据所画的图（如图3）围绕其特征进行了汇报。我提问：“假如从长度的角度考虑呢？”学生发现：线段AB最短，接着是曲线AB，最后射线AB、射线BA、直线AB都是无限长，我追问：“为什么线段AB最短呢？”由于学生刚刚重拾了实验的过程，很容易得到：两点之间线段最短。我继续问：“你见过这样的生活事例吗？”有学生说，在学比例尺的时候，题目都会说算某个地方到某个地方的直线距离，事实上我们走的都不是直线距离，是弯弯曲曲的，所以实际距离更长。我再次提问：“像这样的线段AB，射线AB，直线AB，你们在生活中见过这样的事例吗？”有学生说，假如一棵树看成一个点，另外一棵树看成另外一個点，两棵树之间拉一根绳子就是一条线段;还有的说，晾衣服的时候，一个夹子看成一个点，另外一个夹子看成另外一个点，拉直的袖子就能看成一条线段;有学生总结发现，两个点之间总能确定一条线段，一端无限延长就是一条射线，两端无限延长就是一条直线。依据学生的述说，再出示书本的生活实践题，学生很容易说明其中的数学原理。

通过一个或者几个生活实例，可以抽象得到数学原理（知识），通过一个数学原理（知识）可以解释多个生活实例，这是认识上的不对等，再加之假如那些事例未必是学生生活中常有的，这样就造成了陌生化。在这个环节中，我首先用数学实验提取了学生已有的知识经验，再让学生通过自己的生活体验找到生活中的模型并加以说明，最后回到解释书本上指定的生活模型，这样一来很好地在具体抽象的渐变区用数学实验建立了缓冲带，让学生得以在“具体—抽象—具体”中自由行走，但此刻的“具体”已不再是最初的“具体”了。

2.数学实验应架在儿童认知最近发展区，让认识再发生

哲学家培根在《新工具》一书中说：“经验是认识的起点、认识的依据，又是整个认识过程的伴随物。”从这个角度而言，经验提供给了我们认识新事物的方法。为此，我在教学“角”的环节中，继续用数学实验的方式帮助儿童拓展数学概念。首先，我出示方格子图说明：“射线AB外有一点C，连接AC，这样就形成了一个锐角（图4）。想一想：假如C点跑起来，还能形成哪些角？”学生纷纷动手实验起来。学生根据以往的经验，得到了锐角、直角、钝角、平角、周角（如图5）。突然有学生问：“在C点跑动中，C点0°角和平角之间中出现了很多角都有名称，而C点跑到平角和周角的区域中也有很多角，这些角会有名称吗？”一石激起千层浪，班上一个阅读丰富的同学补充，当角大于180°小于360°是优角。于是，我指着优角追问：“这个是优角，那剩下另外一部分度数的角，你们推论一下叫什么角？”学生七嘴八舌地议论起来，有学生说：“劣角。因为优的反义词是劣。”我肯定后继续问：“回忆下我们的实验过程，你们觉得劣角应该是多少度呢？”“0°到180°之间。”于是，就得到了新的分类标准（图6）。

维果茨基的最近发展区理论认为：儿童有两个水平，第一个是现有的发展水平，第二个是潜在的发展水平，同时他还指出教学不应该指望于儿童的昨天，而应指望于他的明天。在本环节中，我继续使用数学实验的方式，让点C在方格纸上“跑”起来，学生依据旧经验得到了各种学过的角的同时，还依据实验推论得出了未知领域的新发现，这是学习的勇气和智慧。“我们把经验用作跳板，跳向一个新的发现，然而，经验在摆脱掉旧观念加诸于它的那些限制后，却充满了推论。”这样的推论给了知识以新生并赋予经验深度和广度，最大限度地扩充了儿童的认知视阈。

3.数学实验应架在儿童经验密集整合区，让经验再创变

杜威说：“经验的过程也是生命的过程、探究的过程，它内含着自主推论、联结等主体内容。”在现有知识经验下，学生看事物往往都是割裂的，为了打破经验的边界，实现知识的联结与创变，我设计了让点C“跑”起来的三角形实验（图7）。

我首先让学生思考：1.确定一条与线段AB的平行线，点C在平行线上跑，想想能得到哪些三角形？2.点C在一条垂直于线段AB且把线段AB平均分的直线上跑，想想能得到哪些三角形？在汇报过程中，有的学生说：“点C在平行线上跑，可以得到锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。”接着有学生补充发现：“运气好的话，也能得到等腰三角形或者等边三角形，主要看平行線和线段AB的距离。”接着又有学生说：“点C在中间的线上跑得到的都是等腰三角形，运气好的话能得到等边三角形。”我追问：“你觉得是可能得到还是一定会得到？为什么？”学生说：“既然能出现等腰三角形，必然有等边三角形，因为等腰三角形包括等边三角形。”还有学生发现说：“锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形不是截然分开的，只是看的角度不同。例如：等边三角形肯定是锐角三角形，图中（如图7）点C在中间的线上跑所有的都是等腰三角形，也能出现锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。”于是，有的学生发现了：等腰直角三角形，等腰锐角三角形，等腰钝角三角形。

郑毓信教授说：“数学知识，不在于求全，在于求联。”三角形的分类中需要大量的三角形的细分概念参与，但是学生很少能整合起来看三角形的属性问题，对其辨识都是“不是……就是……”的二元对立，而不是“既是……又是……”的多维视角，通过跑动的点C数学实验，学生不仅再一次经历了几何意义上的三角形的形成，在发展空间观念、深化概念的同时，更让沉寂已久的经验如同一个个活跃的小分子相互撞击、相互作用，形成了新的产物。正如杜威而言，那种“充满活力”的经验是实验性的并力图达到未知事物的特征。

4.数学实验应架在儿童思维量变质变区，让思维再深刻

學生在六年的学习中已经积累了大量的数学活动经验。为了经验继续发酵突变，我继续以跑动的“·”为数学实验，只不过这次出现C、D两点。我提问：“线段AB外有C、D两点，连接A、B、C、D，可以得到哪些我们学过的平面图形？”学生实验后得到如图8。他们发现：梯形最容易得到，只要CD与AB平行就好;平行四边形在梯形的基础上让上底与下底变得一样长;长方形在平行四边形的基础上加邻边垂直;正方形最麻烦，在长方形的基础上加邻边长度相等，条件最多。由此，通过数学实验便得到各图形的概念特征，为了继续深入，我接着先出示第一个梯形ABCD（图9），紧接着出示第二个、第三个，提问：“你发现了什么？”学生说：“C、D两点越来越近了。”我追问：“猜想一下，CD越来越近了，会变成什么呢？”生：“三角形。”我追问：“这个过程你发现了什么？”有学生说，三角形来源于梯形。有学生说，三角形和梯形有联系。我暗示：“联系以往的学习经验，你觉得有什么更深的联系呢？”在我的启发下，有学生从面积计算公式角度进行了思考，得出了梯形面积计算公式和三角形面积计算公式的相通处。紧接着我提问：“D点不动，C点往右跑，你又有什么发现呢？”学生顺势马上得出了平行四边形面积计算公式和梯形面积计算公式的相通之处，实现了面积计算公式的化归。

香港大学教育心理学教授比格斯首创的“SOLO”分类评价理论认为，某个问题的学习结果可以由低到高划分为五个层次：前结构、单点结构、多点结构、关联结构和抽象拓展结构，其中前三个层次是基础知识的积累，后两个层次是理论思维的飞跃。回顾以往的复习，更多的是集中在前三个层次的原点式复习，经验的原点式打转，为此让学生通过四边形的实验操作，不仅找到了平面图形之间的关联结构，实现了对面积计算公式的突破性理解，更犹如一根导火索点燃了思维的火焰，让经验在推理的作用下走向了思维的质变，获得了更为丰富的、扩大的意义。

马克思说，实践意味着对实践本身的突破。从这个意义上说，数学实验在被看作是帮助儿童构建数学经验的有效手段的同时，更应看到其在已有经验拘囿下突围的积极意义，这不只是一种从无到有的建构，更是一个由旧到新的发展创变历程。正如杜威所言：“教育是经验的改造与改组，是由于经验和为着经验的一种发展过程。”就让我们沿着儿童数学经验发展的每一个关键区，建设一座座数学实验的桥梁，看着他们“自由地从一道瀑布迅速地跳到另一道瀑布。”

【参考文献】

[1]凯洛夫.教育学[M].北京：人民教育出版社，1952.

[2]康德.纯粹理性批判[M].北京：中国人民大学出版社，2004.

[3]唐斌.教育的经验诠释——杜威教育哲学疏论[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014.

[4]杜威.经验与教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[5]玛利亚·蒙台梭利.童年的秘密[M].北京：京华出版社，2002.