21.2.2解一元二次方程

广西南宁八中 黄 振

一、内容和内容解析

1.内容

公式法解一元二次方程。

2.内容解析

本节课是一元二次方程求根公式的推导和应用，让学生体会公式法由配方法产生，且比配方法尤为简单，达到知识迁移目的同时更能激起学生求知欲望，同时求根公式的推导培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类、类比、转化、特殊到一般的数学思想。因此本节课的学习不仅是用公式法解一元二次方程，也是进一步为二次函数与一元二次方程之间关系及作二次函数大致图像和一元二次不等式作铺垫，因此本节课的重点是：求根公式的推导和公式法的应用。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

（2）通过对求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类、类比、转化、特殊到一般的数学思想。

2.目标解析

通过解特殊的一元二次方程的解过程及步骤类比对于一般的一元二次方程的推导，通过等式的性质移项，把系数化为1，最后关键的是配方转化成形如(x + m )2=b ，引导学生一个数的平方即(x + m )2=b 等式中的b在什么范围进行了分类讨论，明确了方程的解与判别式的大小有直接的关系，推导出求根公式，进一步简化了解一元二次方程的解。

三、教学问题诊断分析

学生在之前的学习中，已经学习了解一元一次方程及开平方和配方法解一元二次方程，已经具有了一定的转化数学思想，对于特殊的一元二次方程的解过程已掌握了等式的性质，但对于一般一元二次方程ax2+ b x + c = 0 (a ≠0)系数不是具体的数时尤为陌生，所以本节课要通过类比的形式让学生探索，同时可能会出现思维障碍，配方法是怎样配？也可能会出现不能做到恒等形的变化，以及容易忽略分类讨论直接开平方导致的错误结果，有些同学也可能产生对系数a,b,c的值确定错误。

基于以上的分析，本节课的教学难点是：一元二次方程的求根公式的推导过程及灵活地运用公式法解一元二次方程。

四、教学支持条件分析

通过展台展示学生推导过程出现的问题，利用幻灯片，展示一般方程的推导过程，与学生的推导过程进行比较，提供更多的时间给学生对公式推导的消化。

五、教学过程设计

（一）复习引入

问题：如何求以下方程的解 （1）x2=4（2）2 x2−4 x −1 = 0（请两名同学上黑板板书）完成后进行交流，并及时反馈学生出现的问题，复习了开平方和配方法为公式法的推导做了铺垫。

学生：总结解一元二次方程的方法和步骤

教师板书：（1）开平方 如x2= a ( a ≥ 0 )x = ±

（2）配方法：进一步追问有哪些步骤

学生：

（1）移项

（2）把系数化成1

（3）方程两边都同时加上一次项系数一半的平方

（4）原方程变为(x + m )2=b 如果b≥0，直接根据开方直接求出方程的解，如果b＜0，则方程无解

[设计意图]：复习巩固旧知识，为新课做铺垫，体现由特殊到一般及降次转化的数学思想。

（二）探索新知

教师：进一步引导，如果每个一元二次方程都通过配方的形式来求解，过程就显得很麻烦同时计算很容易出现错误，针对一般的一元二次方程ax2+ b x + c = 0 (a ≠0)有没有更加简便的方法呢？请同学们类比以上两道题目解方程的方法推导出求解的一般方法，动手试试。

学生：动手解方程ax2+ b x + c = 0 (a ≠0)分别找两个解法不一样的同学上黑板演示

教师：巡视，做个别点评，辅导

教师：现在我们共同观察黑板上两个同学的探索过程

学生1：ax2+ b x = −c

教师：这是配方法中的哪一个过程

教师：

教师：这是配方法中的哪一个过程

学生2：

教师：

教师：这是配方法中的哪一个过程学生：移项

即

教师：这是什么运算？

学生：开平方根

教师：进一步追问，这一过程受到我们条件的限制吗？

学生：当b2−4 a c≥0时才可以开平方，呼应复习引入

教师：当b2−4 a c＜0时能进行开平方根吗？

学生：不能，因为负数没有平方根

教师：总结学生推导过程很好，让我们一起总结对于一般的一元二次方程在配方时要注意什么？

[设计意图]：让学生明白推导过程及对b2−4ac分类讨论，明白方程的根与b2−4ac正负值有关，进一步得出，当b2−4 a c＞0方程有两个不相等的实数根，当b2−4 a c=0方程有两个相等的实数根，当b2−4 a c＜0的方程没有实数根。

强调：用公式法求解时一定要注意三点

（1）把方程转化成一般式

（2）将a,b,c的值代入公式时一定要注意符号不能出错

（3）前提必须是b2−4 a c≥0，同时要记住b2−4ac是公式的一部分

（三）新知应用

例2：用公式法解下列方程

（1）x2−4 x −7 = 0（2）2 x2−2x +1 = 0

（3）5 x2−3 x =x+1（4）x2+ 1 7 =8x

学生动手操作，四名学生上黑板演示 教师：巡视，解惑

解答后让学生以小组为单位互评，发现疑问，教师进一步点评，明确（1）的 是-7而不是7，应用公式时务必转化成一般式，在确定a,b,c的值，同时也优先判断b2−4ac的值。

教师：进一步追问学生这种方法解方程与用配方法解那种方法更简单？让学生进一步比较

[设计意图]：达到巩固新知，通过对比感受到公式法求解更加优化，从而达到了知识迁移的目的。

教师：用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？

学生：（1）将方程化成一般式

（2）确定a,b,c的值

（3）求b2−4ac的值

（4）如果b2−4 a c≥0则代入公式

（四）课堂练习

1.教材第12页 练习 1：（1） （2）

2.用公式法解一元二次方程x( 2 x − 4 ) = 5 − 8x

[设计意图]：及时检测学生掌握新知情况，题目设计由易到难，如何学生认知梯度，激发学生学习的兴趣。

（五）归纳总结

教师：本节课学到了什么知识

教师: 本节课有什么体会

[设计意图]：让学生从学到的知识及学习方法，数学思想的一个反馈。

六、目标检测设计

[设计意图]：考察判别式与方程的根的内在联系

板书设计：