核心素养观念下的数与代数教学及启示*
——以“分式的乘除”为例

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(浙江师范大学教师教育学院，浙江 金华 321004)

●吴志权

(长兴县实验中学,浙江 长兴 313100)

核心素养已成为当下数学教育改革的一个热点，然而如何在课堂教学中培养学生的核心素养，这是一个值得深入探讨的问题.笔者以吴志权老师“分式的乘除”一课为例，讨论如何从简单的数学内容中挖掘深刻的学科内涵，通过问题驱动学生的思考，在类比迁移中促进学生数学思维的形成，以期为数学核心素养的落实提供一些借鉴.

1 教材内容概况

本节课的教学目标为：学生利用“类比学习”，经历分式乘除法则的建构过程；理解分式的乘除法则，会运用法则进行运算，并能解决一些与分式相关的实际问题；渗透类比转化的思想，在学习知识的同时学到数学方法，发展数学思维.本节课的教学重点是分式的乘除法则及其运用.分子、分母为多项式的分式乘除运算具有一定的复杂性，是本节教学的难点.

2 关键教学片断

片断1体验法则阶段.

师：你知道这一章有哪些内容吗？

(学生开始翻书的目录，教师适时用多媒体展示本章节的目录.)

师：我们是怎样获得分式的概念、性质的？

(教师引导学生回顾旧知的学习过程，为新知识的学习打下基础.教师多媒体展示分式的概念、性质这几节内容的导入部分，让学生体会类比这一重要的数学思想.)

师：那同学们思考一下关于分式的运算，我们该如何来学习呢？

生：我们可以通过类比分数的运算来学习分式的运算.

(教师给出两道分数的乘除运算题，学生快速地解答.紧接着，教师抛出两道单项式的乘除运算题，让学生自主进行类比学习.)

师：请说一说你对分式的乘除有哪些新的认识？

生1：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，就是将其化为乘式，按照分式的乘法进行运算就好了.

师：怎么化为乘式？

生1：把除式的分子、分母颠倒位置，把除号变为乘号.

师：这是大家自己总结的分式的乘除法则，现在请同学们翻开课本，看课本上是如何归纳分式的乘除法则.

(通过对比课本，使学生对分式的乘除法则有一个较为清晰的认识.)

师：之前我们用字母来表示分数的乘除法则，现在哪位同学能尝试用字母表示分式的乘除法则？

师：对比分数的乘除，同学们思考一下它们之间有哪些区别与联系？

生2：分数的乘除法则在分式中也能通用！

师：很好！还有吗？用字母表示分式的乘除法则，这里的字母表示什么？

生3：数！

生4：单项式！多项式！

师：也就是说这里的字母不仅仅局限于数，也可以表示式.

片断2法则操作阶段.

从下面所给的4个代数式中任意选择两个，用“×”或“÷”连接，并进行计算：

师：请同学们根据题目要求给自己设计一道题目，再给同桌设计一道题目.

(教师巡视并指导学生改正运算中出现的错误.之后，通过实物投影将学生的作品进行展示，一些学生出现了典型性错误，全班一起寻找犯错的原因并帮助其改正.)

师：通过之前的练习，你能说说分式的乘除运算一般要经历哪些步骤？

生5：先因式分解，再约分，然后得到结果.

师：分式的乘法是这样的，那除法呢，第一步先做什么？

生5：除式的分子、分母颠倒位置，将除号化为乘号.

师：分式乘除运算的一般步骤可以归纳为:先“化乘”，然后再因式分解、约分，最后得到结果.大家同意不？

生(众)：同意！

师：我们刚才只选择了两个代数式进行分数的乘除运算，如果让你选择其中的3个，你会计算吗？请动手试试看.

(教师用多媒体展示一些学生的作品，并强调了多个代数式乘除运算时应注意运算顺序、符号意识、化简等问题.)

片断3法则运用阶段.

一个长、宽、高分别为l,b,h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐(如图1所示).

图1

师：现在有这样一个生活情境，你能提出哪些数学问题？

生6：求一个易拉罐的体积.

生7：求这个长方体纸箱的体积.

生8：这个纸箱共能装多少个易拉罐？

生9：装满易拉罐后，纸箱还剩下多少空间？

……

师：大家提出的问题都非常精彩，现在我们一起来解决这些问题.

师：求一个易拉罐的体积，易拉罐是圆柱形，圆柱的体积大家会算吗？

生(众)：会！圆柱体积是πr2h.

师：纸箱呢？它是长方体的.

生(众)：lbh.

师：很好！一个纸箱共能装多少个易拉罐？

生10：纸箱的容积除以一个易拉罐的体积就可以了.

师：大家觉得可以吗？

(有的学生表示赞同，有的学生觉得有点问题.)

师：如果按照生10的想法，理论上是可以的，但实际呢？大家有没有想过易拉罐之间的空缝呢？纸箱的容积除以一个易拉罐的体积，就会把这些空缝也算进去，但实际操作是不行的.

生11：可以先算出纸箱一行能放几个，再算出一列的个数，乘起来就是总的个数.

师：一行的个数怎么算？一列呢？

师：你的想法非常棒！纸箱的剩余空间这个问题谁能解决？

师：课本上也提出了一个问题，求纸箱空间的利用率,利用率就是易拉罐总体积与纸箱容积之比.这个问题大家能解决吗？

3 核心素养视野下的教学分析

时下，新一轮基础教育数学课程改革高度关注学生核心素养的发展.史宁中认为核心素养是后天习得的、与特定情境有关的，是通过人的行为表现出来的，因此是可监测的知识、能力和态度；涉及人与社会、人与自己、人与工具这3个方面，最终要落实在人即受教育者身上，他进而提出可以从让学生学会“用数学的眼睛看”“用数学的思维想”“用数学的语言说”[1]，这3个方面将学科核心素养的培养贯穿于数学教学中.本课例是一则精彩的基于学生核心素养发展的数学教学，灵动且富有弹性.吴老师充分挖掘教材资源，并对教学素材进行重组与优化，成功地做到教学设计“源于教材，高于教材”；引导学生体验法则的产生、操作和运用过程，并在此过程中给予学生充分的思考、合作、交流、表达的空间.

3.1 用数学思维分析世界

现代教育实践竭力追求“形式教育(思维训练)”与“实质教育(知识)”的统一.李艺认为从思维层面上构建学科思维体系的系统性、完整性和丰富性，并通过课程实施将其转化为学生的内在品质，是实现两者统一的有效途径[2].数学学科所特有的抽象概括、逻辑推理、类比推理等思维方式，需要通过课堂教学加以落实，使学习者能够像数学家一样深入思考问题.

吴老师在教授分式的乘除法则时，每一处教学细节都注重学生数学学科思维的培养.教学一开始，吴老师便让学生从章节的整体结构理解新知与旧知之间的关系，通过联系分式的概念、性质的探究方法，潜移默化地渗透类比学习的思想，引导学生自主建构分式的乘除法则.在此过程中，吴老师帮助学生通过类比思维和一般化思维将分数概念及其运算规律类比推广至分式，从而达到数与代数的巧妙过渡.法则运用阶段，特别是计算多项式的乘除时，有些学生就会出现未及时因式分解、约分而使整个运算变得繁琐复杂，吴老师就会引导学生反思因式分解、约分的真正涵义.算理是运算的思维本质，运算法则是算理的外在表现形式，它使运算变得简便易行.法则教学不能仅仅停留于运算法则的教授，而要在学生熟悉运算法则后，进一步引导学生对运算过程进行反思与再创造.这样的教学处理是以思维为主线、以算理为先导、以创造为旨向，在此意义下，学生不仅发现、归纳出运算法则，而且理解了算理，甚至能创造出更为简便的运算方法，从而实现算法与算理的统一.

本节课对类比思想的渗透无疑是成功的，类比思维、一般化思维也将为学生主动研究新的问题提供可能.数学学科思维的获得过程具有长期性，不可能一蹴而就，必须经历长时间、系统而复杂的数学学习活动和心理过程才能获得[2].本节课也成功地向我们展示了学生通过体验法则的形成、运用和再创造过程，将数学思维内化为自身的内在品质既关注到“双基”内容的掌握，也实现了运算规则的迁移，经历了规则的创造过程.

3.2 用数学眼光观察世界

用数学的眼光看世界就是对现实世界进行抽象，从而进入数学内部.数学抽象常常用数学符号或者术语予以表征.体验法则阶段，吴老师不断向学生提问“你能类比分数的乘除，尝试用字母表示分式的乘除法则吗”“你知道这里的字母表示什么吗”“分数的乘除法则我们曾用字母表示，现在我们也能用字母表示分式的乘除，两者的字母表示有什么联系与区别吗”……通过不断地设问，帮助学生建立和强化符号意识，让学生感知符号表达是对数量关系的一种抽象，逐渐学会用数学的眼睛看世界.郑毓信认为如果“数学地看待世界”可以被看成“数学素养”的显性表现，那么“数学素养”的核心所在就是帮助学生通过数学学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深、更合理[3].

在法则运用阶段，吴老师设计大胆，鼓励学生用数学的眼光看待世界、发现问题、表述问题.基于情境学生主动发散思维，舍弃具体背景中的物理属性，尝试从数量关系、图形关系中抽象出数学研究对象，如“求一个易拉罐的体积”“求这个长方体纸箱的体积”“这个纸箱共能装多少个易拉罐”等.传统的例题讲授往往将学生的思维聚焦于已知的问题上，在某种程度上会限制学生的思维发散度，这样的活动经验最终会削弱学生对问题的敏感度，导致思维定势.吴老师对情境的开放性处理，不仅能激发学生的学习兴趣，给予学生充分的思考空间，而且赋予不同层次的学生同等的学习机会，充分发挥自己的潜能，共同体验数学成功感，让学生在这个过程中学会从多视角、多层次思考问题，与此同时，思维品质和思维能力得以提升.

3.3 用数学语言表达世界

学生学好数学，不仅仅是指学生掌握数学知识、获得数学思想、形成数学思维，还指学生能体会到数学的文化价值以及数学发展中所展现出来的文化性[4].因此，我们可以从学生熟悉的日常生活、社会生活、历史生活等方向寻求和筛选有效的教学素材，从而实现“数学生活化”.数学模型是用数学语言描述实际问题，用数学知识与方法构建模型、解决问题，是沟通数学与现实世界的桥梁.

吴老师对教材中的例题进行了优化，将纸箱空间的利用率问题转化为一个开放性问题，让学生提出一个个小问题，然后逐个加以解决.这种问题解决式学习有助于培养学生综合运用所学知识解决新问题的能力，使学生学会解决一类的利用率问题.利用率的数学模型在现实生活中有着较为广泛的应用，如常见的土地利用率问题、工业设备利用率问题、光能利用率问题、资本利用率问题等等.利用率模型是分式除法运算的一个典型运用，吴老师在处理这个问题时有意识地将利用率模型传递给学生，而不是简单地教授分式除法的运算知识，使得学生对利用率的认识不仅仅局限于教材上的纸箱空间问题，而是从深层次上把握利用率问题的实质，进而能用数学知识与方法构建模型，成功解决现实中的利用率问题.在数学教学活动中培养学生的数学建模素养，能够帮助学生感悟数学与现实之间的关联，使其加深对数学内容的理解，逐步积累数学实践经验，进而提升应用能力，增强创新意识[1].

核心素养观念下的数学教学，其终极目标在于:一个人学习数学之后，即便这个人未来从事的工作和数学无关，也应当会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界，会用数学的语言表达世界[1].实践教学中如何让学生在掌握知识、技能的同时，积累数学思考的经验，形成数学思维，乃至发展数学核心素养是值得我们不断探索的问题.

参 考 文 献

[1] 史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理,2017(1):35-37.

[2] 李艺,钟柏昌.谈“核心素养”[J].教育研究,2015(9):17-23.

[3] 郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报,2016,25(3):1-5.

[4] 陈碧芬,张维忠,唐恒钧.“数学教学回归生活”:回顾与反思[J].全球教育展望,2012,41(1):86-92.