空间任意斜裂纹引起的转子刚度变化机理研究

焦卫东， 蒋永华， 施继忠， 王晓燕

(浙江师范大学工学院， 浙江 金华 321004)

引 言

现有的裂纹模型可以分为开裂纹与呼吸裂纹两大类，开裂纹模型适用于裂纹面受恒定方向拉应力作用的情形，其效应是导致转轴刚度的局部定值削减[1]；呼吸裂纹模型的裂纹面承受拉、压应力的交替作用，裂纹周期性开/合(或呼吸)，激起转轴刚度的周期性变化[2]。Darpe 等推导了包含横向裂纹(即裂纹面同时垂直于转轴轴线及其基面)转子的柔度参数与刚度矩阵，并研究了在裂纹非线性呼吸行为作用下转子的纵向、弯曲与扭转耦合振动特性[3]。在已有的研究基础上，Darpe 应用应变能理论将横向裂纹推广至更一般的斜裂纹情形，并与横向裂纹进行了对比。相比于横向裂纹，斜裂纹会导致刚度矩阵中不同参数的更多耦合，进而造成转子弯曲、扭转甚至是纵向振动的耦合[4]。Bachschmid 等指出，通常情况下转子裂纹面垂直于转轴轴线方向(即横向)，但在大扭矩和强弯矩载荷作用下裂纹会沿着螺旋方向扩展，从而形成螺旋裂纹或斜裂纹。并以精细的三维非线性模型为基础，建立起更为简单的裂纹转子一维有限元模型，据此对横裂纹与斜裂纹的呼吸机理、弯扭联合作用下裂纹的扩展行为进行数值仿真与实验验证[5]。Han 等认为齿轮啮合力导致的大扭矩往往引发裂纹的斜向扩展，因此对含有斜裂纹的齿轮-转子-轴承系统的动力学特性进行了数值仿真研究[6]。Ebrahimi 等建立了横向开裂纹连续弯曲振动模型，运动方程基于汉密尔顿原理构建，采用改进的伽辽金方法求解，所得的响应结果与有限元法呈现出良好的一致性[7]。国内对裂纹转子动力学也开展了一定的研究。闫明等采用有限元方法和最大周向应力准则，分析计算了热疲劳作用下斜裂纹的应力强度因子和开裂角的周期性变化规律[8]。刘长利等对横裂纹与斜裂纹转子的变刚度特性进行了对比[9]，并进一步研究了包含双盘、双呼吸型裂纹的转子系统的一些典型的非线性动力学特性[10]。夏恒恒等分析了斜裂纹转子在裂纹全部张开状态下刚度的影响因素[11]。

现有的绝大部分研究主要是基于断裂力学中的应变能理论，并采用 Euler 梁或Timoshenko 梁单元进行建模[3-4, 6, 9-11]。基于梁单元建模与应变能理论的有限元法物理意义明确、理论基础扎实，因此获得广泛应用。但是，这些研究绝大部分针对的是简单的横向裂纹或裂纹面倾斜于转轴轴线而垂直于转轴基面的斜裂纹，这类裂纹称为横-斜或直-斜裂纹更为合适，很少见到对含有空间任意斜裂纹(即裂纹面与转轴轴线和转轴基面均不垂直)转子的动力学特性进行研究。本文着眼于探究空间任意斜裂纹转子的多自由度耦合振动机理，采用基于梁单元建模与应变能理论的有限元法，对转子旋转过程中由于裂纹的非线性呼吸行为导致的刚度变化以及不同方向刚度参数的交叉耦合特性进行研究，并系统分析裂纹方位角以及裂纹深度等参数对转子刚度特性的影响。裂纹转子建模采用考虑剪切变形效应的 Timoshenko 梁单元，并考虑纵向、弯曲与扭转全部六个方向的自由度。

1 空间任意斜裂纹转子刚度计算

1.1 裂纹转子建模

转轴长度为L= 0.7 m，直径为D= 0.015 m，转子盘质量为m= 1 kg。裂纹位于转子盘右端靠近盘位置。转子-轴承系统采用Timoshenko梁单元进行建模，共划分为14个单元，包含15个节点，每个节点考虑了纵向、弯曲和扭转所有6个自由度，如图1(a)所示。从便于描述裂纹动力学效应的角度，对于裂纹转子轴段进行单独建模。

图1 裂纹转子的有限元模型及其坐标系统(横裂纹：xyz；横-斜裂纹：x′y′z′；空间任意斜裂纹：x″y″z″)Fig.1 Finite element models of cracked rotors and their coordinate systems (transverse: xyz, transverse-slant: x′y′z′ and arbitrary spatial slant: x″y″z″)

为了具体说明空间任意斜裂纹、横-斜裂纹以及横裂纹相互之间的空间变换关系，图1(b)～(d)对比给出了各自的坐标系统，其中图1(e)中xoy面为转子的基面。在图1(e)中，进一步描述了各坐标系统的空间变换关系。可以看到，由最基本的横裂纹(xyz)出发，其裂纹面绕z坐标轴旋转一定角度(θ1)，即得横-斜裂纹(x′y′z′)；横-斜裂纹面绕其坐标轴y′ 再旋转一定角度(θ2)，即得空间任意斜裂纹，其坐标系统为x″y″z″。厘清三类裂纹坐标系统的空间变换关系，是裂纹有限元建模及动力学参数计算的必要条件。

1.2 裂纹单元柔度参数及刚度矩阵计算

设转轴半径为R，梁元长度为l。裂纹中心距离单元左端为x，裂纹深度为a。 单元承受剪力P2，P3和P8，P9，弯矩P5，P6和P11，P12，轴向力P1和P7以及扭矩P4和P10的作用，如图1所示。令ui和Pi分别为沿着第i个坐标方向的节点位移与节点力。根据 Castinglianos 定理，裂纹单元的柔度参数表达为

(1)

式中U0为无裂纹转轴单元的应变能，Uc为裂纹导致的外加应变能。

裂纹单元节点位移ui为

(2)

(3)

式中A= πR2为转子轴横截面积，E为杨氏弹性模量，G为刚性模量，I为转子轴截面面积矩，I0为截面极惯矩，αs为Timoshenko 梁剪切系数。

由裂纹导致的外加应变能计算式为

(4)

式(4)中的各个 SIF 计算式如下：

(1)张开模式(Opening Mode)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(2)滑移模式(Sliding Mode)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(3)剪开模式(Tearing Mode)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

图2 包含裂纹闭合线的 AS 型裂纹截面Fig.2 Cross-section of AS type crack including CCL

联立以上各式，可得各柔度参数如下：

(23)

(24)

(25)

8Rbβsin2θ1sin2θ1sin2θ2sin2θ2+

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

4βsin4θ1sin2θ2sin2θ2)F1F2+(Rbsin2θ1sin2θ1sin22θ2+

(31)

(32)

(33)

(34)

4βsin3θ1sin22θ2)F1F2+(Rbsinθ1sin2θ1sin4θ2+

(35)

(36)

(37)

4βsin2θ1sin2θ1sin2θ2sin2θ2)F1F+(Rbsin22θ1sin22θ2+

4βsin5θ1sin2θ2sin2θ2)F1F2+(Rbsin3θ1sin2θ1sin22θ2+

(38)

(39)

(40)

4βsin5θ1sin2θ2sin2θ2)F1F2+(2Rbsin3θ1sin2θ1sin22θ2+

(41)

(42)

(43)

如图1(b)，考虑裂纹单元各节点位移qi，i= 1～12 的静平衡条件，有 {q1-12}T=T{q1-6}T，变换矩阵T参见文献 [3-4]。从而，裂纹单元的刚度矩阵为Kc=TG-1TT，其中G= {gij}，i,j=1～6，各柔度参数gij可以根据式(23)～(43)求得。

2 数值仿真结果

随着转子轴旋转，裂纹发生交替性开/合，导致裂纹转子刚度的周期性变化。为了仿真裂纹转子的变刚度特性，在一个旋转周期内(360°)将裂纹边均分为100个点，每个点确定一个 CCL 位置，由此确定不同的积分限。从而，可将式(29)计算所得的刚度参数变化视为是 CCL 位置的函数。

裂纹转子的变刚度特性不仅取决于裂纹的类型，而且与裂纹的方位角(θ1与/或θ2)和裂纹深度a有关。接下来，将对此作详细研究。

2.1 不同类型裂纹变刚度特性的对比

图3 三类不同裂纹的刚度参数对比(横裂纹：T；横-斜裂纹：TS；空间任意斜裂纹：AS)Fig.3 Comparison on stiffness coefficients of three different types of crack (transverse: T； transverse-slant: TS and arbitrary spatial slant: AS)

由图3(a)可见，在转子整个旋转周期中，空间任意斜裂纹(AS)转子相比于横裂纹和横-斜裂纹(T 与 TS)转子，具有最大的轴向与垂直剪切刚度(k11与k33)。在旋转初期，AS 型裂纹转子的扭转刚度(k44)略小于 TS 型裂纹转子；在旋转末期，AS 型裂纹转子的弯曲刚度(k55与k66)略小于 T 型裂纹转子。不过，从整体上来看其刚度差不多也是最大的。但是，在转子旋转的大部分过程中 AS 型裂纹转子的水平剪切刚度(k22)明显小于其他两类裂纹转子，虽然在旋转末期其刚度有明显提高。此外，AS 型与 TS 型裂纹转子的扭转刚度 (k44) 很接近，弯曲刚度(k55与k66)的变化趋势相近，表明在扭转和弯曲方向上裂纹面方位角θ1是影响转子刚度特性的主要因素。而在其他方向上，方位角θ2则发挥了重要的作用，导致AS型裂纹转子具有与其他两类裂纹转子明显不同的、更加复杂的变刚度特性，尤其在水平剪切方向上(k22)表现得更加明显，刚度曲线的对称性被严重破坏，刚度值明显下降，整体小于其他两类裂纹转子。

交叉耦合刚度参数kij，i=j，是造成裂纹转子不同方向振动响应相互耦合的根本原因。对于 AS 型裂纹转子，刚度参数彼此交叉耦合的现象更加显著。例如，在水平剪切-垂直剪切(k23)、水平剪切-扭转(k24)、水平剪切-垂直弯曲(k25)以及垂直剪切-水平弯曲(k36)等方向，均出现了强烈的耦合现象，如图3(b)所示。

2.2 方位角对AS型裂纹变刚度特性的影响

保持裂纹面方位角θ1= 45° 不变，θ2在 30° 到 90°之间变化。在不同方位角的共同作用下，AS 型裂纹转子的刚度特性曲线如图4所示。需要注意的是，当θ2= 90°时AS型裂纹退化为TS型裂纹，具体可以参考图1(e)加以理解。

图4 方位角(θ2)对裂纹转子变刚度特性的影响Fig.4 Influence of oriented angle (θ2) on stiffness variation characteristics of cracked rotor

图5 裂纹深度比(ā = )对裂纹转子变刚度特性的影响Fig.5 Influence of crack depth ratio (ā = on stiffness variation characteristics of cracked rotor

由图4可见，随着θ2的增大，纵向(k11)、垂直剪切方向(k33)、扭转方向(k44)以及垂直弯曲方向(k55)的刚度值单调下降。但是，在水平弯曲方向(k66)以及水平剪切方向(k22)，这种趋势不复存在，刚度变化曲线彼此出现了明显交叉，表明 AS 型裂纹转子的裂纹面方位角θ1与θ2之间的交互作用效应。显然，在转子整个旋转周期的不同转角位置，这种效应对转子刚度的影响是不同的，因此是动态的，也是非线性的。

2.3 裂纹深度对 AS 型裂纹变刚度特性的影响

进一步地，保持 AS 型裂纹转子的裂纹面方位角θ1= 45°，θ2= 60°不变，裂纹深度比 ā 从0.1变化到0.5，裂纹转子的刚度特性如图5所示。对应于不同裂纹深度的刚度特性曲线，采用与图4相同的线型按照ā递增的顺序进行描述。

由图5可见，随着ā的增大，AS 型裂纹转子各方向的刚度参数kii，i= 1～6 均单调下降。在转子整个旋转周期的不同转角位置，刚度值是不断变化的，但是对应于不同裂纹深度的转子变刚度特性曲线几乎具有相同的走向和变化趋势。这表明，裂纹深度参数对转子刚度的影响虽然也是动态的，但是具有明显的线性特征。

3 结论与讨论

基于材料力学的应力理论以及断裂力学的应变能理论，采用 Timoshenko 梁单元模型对裂纹单元进行单独建模，并考虑了纵向、弯曲以及扭转所有六个方向的自由度，推导了含有空间任意斜(AS)裂纹转子单元的柔度参数，进而根据节点位移的静平衡条件导出了裂纹单元刚度矩阵。在此基础上，对比研究了不同类型裂纹(T：横向、TS：横-斜与AS：空间任意斜)转子的刚度特性，并进一步研究了裂纹面方位角以及裂纹深度参数对AS型裂纹转子变刚度特性的影响。研究结果表明，AS型裂纹转子由于受到裂纹面方位角θ1与θ2的交互作用，刚度特性明显不同于其他两类裂纹转子。这种交互作用效应，不仅体现在刚度参数的量值上，还体现在刚度曲线的变化趋势上，并且具有明显的非线性特征。由此导致的结果是，不同方向上 AS 型裂纹转子的刚度具有更广泛、更强烈且更加复杂的交叉耦合特性。

裂纹转子刚度矩阵中的交叉耦合参数，可以解释由裂纹引发的转子在不同方向上的运动耦合机理。根据Darpe 的研究，对于 TS 型裂纹转子，其几乎所有的交叉耦合刚度参数均大于 T 型裂纹转子，特别是当涉及到扭转方向时(例如，k14，k24，k34，k45和k46)。因此，Darpe将扭转与弯曲、纵向振动的耦合即纵-弯-扭耦合振动作为研究重点[4]。对于 AS 型裂纹转子，鉴于其更广泛、更复杂的变刚度特性，有必要对转子的纵-弯-扭耦合振动以及纵-弯、弯-弯(包括水平和垂直方向)耦合振动进行全面研究，以获取描述 AS 型裂纹转子振动特性的典型特征，用于转子裂纹故障的辨识。此外，无论是 T，TS 还是 AS 型裂纹转子，其刚度参数与裂纹深度参数之间均具有良好的线性关系，这或许可以为裂纹故障的定量诊断提供一定的理论依据。

[1] Papadopoulos C A, Dimarogonas A D. Coupled longitudinal and bending vibrations of a rotating shaft with an open crack[J]. Journal of Sound and Vibration, 1987, 117(1): 81—93.

[2] Chen Y S, Zhang H B. Review and prospect on the research of dynamics of complete aero-engine systems[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2011, 32(8): 1371—1391.

[3] Darpe A K, Gupta K, Chawla A. Coupled bending, longitudinal and torsional vibrations of a cracked rotor[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 269(1): 33—60.

[4] Darpe A K. Coupled vibrations of a rotor with slant crack[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 305(1-2): 172—193.

[5] Bachschmid N, Pennacchi P, Tanzi E. Some remarks on breathing mechanism, on non-linear effects and on slant and helicoidal cracks[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2008, 22(4): 879—904.

[6] Han Q K, Zhao J S, Chu F L. Dynamic analysis of a geared rotor system considering a slant crack on the shaft[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(26): 5803—5823.

[7] Ebrahimi A, Heydarin M, Behzad M. A continuous vibration theory for rotors with an open edge crack[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(15): 3522—3535.

[8] 闫 明, 张义民, 何雪浤, 等. 热疲劳斜裂纹应力强度因子有限元分析[J]. 东北大学学报(自然科学版), 2011，32(5): 720—723.

Run Ming, Zhang Yi-min, He Xue-hong, et al. Time-varying stiffness characteristics of rotating shaft with transverse and slant crack[J]. Journal of Northeastern University (Natural Science), 2011，32(5): 720—723.

[9] 刘长利, 李 诚, 周邵萍, 等. 直斜裂纹转轴的时变刚度特性研究[J]. 振动与冲击, 2011，30(3)：165—170.

Liu Chang-li, Li Cheng, Zhou Shao-ping, et al. Time-varying stiffness characteristics of rotating shaft with transverse and slant crack[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011，30(3): 165—170.

[10] 刘长利, 周邵萍, 江 君, 等. 双盘双呼吸型裂纹转子的非线性动力学特性[J]. 振动、测试与诊断，2012，32(S1): 136—140.

Liu Chang-li, Zhou Shao-ping, Jiang Jun, et al. Nonlinear dynamics analysis of double-disc rotor with two breathing cracks[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012，32(S1): 136—140.

[11] 夏恒恒, 李志农, 肖尧先. 斜裂纹转子全开状态的刚度影响因素分析[J]. 南昌航空大学学报(自然科学版), 2014，28(3): 22—28.

Xia Heng-heng, Li Zhi-nong, Xiao Yao-xian. Stiffness influencing factors analysis of the fully opened slant crack rotor[J]. Journal of Nanchang Hangkong University (Natural Science) , 2014，28(3): 22—28.

[12] 孙训方, 方孝淑, 陆耀洪. 材料力学[M].第3版.北京: 高等教育出版社, 2012: 152—161.

Sun Xun-fang, Fang Xiao-shu, Lu Yao-hong. Mechanics of Materials[M]. 3rd ed. Beijing: Higher Education Press, 2012: 152—161.