打破思维定势 品味数学魅力

龚勤

对一道试题的深度挖掘，显示了课堂教学的灵活性，激发了学生对知识的探究欲望，有利于培养学生由特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决問题。

一、变更主元反客为主

有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按习惯思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境，如果打破思维定势，反“客”为“主”，把原来处于相对次要“客元”突出出来，常常会收到意想不到的效果。

例1：已知函数[fx=x+2k+1x]，其中k∈R，若对任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，求实数m的取值范围。

定势思路：先把x看成“主元”。

（1）当[2k+1?3]，即4≤k≤7，m≤f（3），即[m≤3+2k+13]对任意k∈[4，7]恒成立，于是[m]≤6。

（2）当[2<2k+1<3，即32

因此，当一道题中有多个变量时，要注意考虑把其中一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，此法称之为“变更主元法”，可达到逐步减少参数使问题获得解决。

二、借助变式，反思拓展

（一）利用变式教学揭示问题中隐含的规律

课堂教学时教师要抓住典型问题，解剖麻雀，揭示规律，思考引申，优化解法，类比拓展。

例2：（湖南省2017届高三六校联考试题）已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a，b>0]）的左、右顶点分别为A1，A2，且∣A1A2∣=4，P为椭圆上异于A1，A2的点，PA1和PA2的斜率之积为[-34]。问题如下：设O为椭圆中心，M，N是椭圆上异于顶点的两个动点，求△OMN面积的最大值。

本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值讨论。

（二）常规解析

①当直线MN垂直于x轴时，设MN的方程为x=n，由[x24+y23=1x=n]，得[M（n，3-34n2）]，[N（n，-3-34n2）]，从而[S?OMN=12×n×23-34n2=3n2-34n4]，当[n=±2]时，△OMN的面积取得最大值[3。]

②当直线线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=kx+m，

由[x24+y23=1y=kx+m]消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0。

Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12），化简得4k2-m2+3>0。

设M（x1，y1），N（x2，y2）则[x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2]，[∣MN∣=1+k2·x1+x22-4x1x2=43·1+k2·3+4k2-m23+4k2]，原点O到直线MN的距离[d]=[∣m∣1+k2]，

所以[S?OMN=12∣MN∣·d=23·3+4k2-m2·m23+4k2≤23×12=3]。

当且仅当3+4k2=2m2时，[S?OMN]取得最大值[3。]

综合①②知，△OMN的面积取得最大值[3]。

三、研究拓展

结论1：已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0]）的左、右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上异于A1，A2的点，则PA1和PA2的斜率之积为[-b2a2]，且∣A1A2∣=4。

结论2：已知双曲线[x2a2-y2b2=1]的左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上异于A1，A2，的点，则PA1和PA2的斜率之积为[b2a2]。

第（2）问①解法2基本不等式法：设点M的坐标为M（x，y），则[S?OMN=2×12∣xy∣=∣xy∣≤x24+y23×12×23=3]，利用基本不等式整体处理非常简捷。

第（2）问①解法3参数法：设点M的坐标为[M（2cosα，3sinα）]，则[S?OMN=2×12∣2cosα3sinα∣=3sin2α≤3]，利用椭圆的参数将二元问题一元化、二次问题一次化，这种解题方法思路很自然。

对一道试题的深度挖掘，脱离了以往的死板、照本宣科的教学，沟通了知识之间的联系，显示了课堂教学的灵活性，激发了学生对知识的探究欲望，有利于培养学生由特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题。

四、利用变式教学完善知识结构

很多问题都潜藏着进一步扩展研究的教学功能，通过合理变式，构造题组，让学生在变的过程中发现不变的本质，在不变的本质中探求变的规律，加深对问题的认识，在提高能力的同时完善知识结构。

例3：原题（人教版必修4第一百零八页习题2.4B组第四题）

改编1：如图，在半径为[r]的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若[AB+AC=AD]，且点D也圆C上，

则[AB·AC]= ________。

解：根据向量加法的平行四边形法则，四边形ABCD为平行四边形，而[∣CD∣=∣AC∣=∣BC∣=∣AB∣=r=]________，所以△ABC为正三角形，所以[AB·AC=r22]答案：[r22。]

改编2：如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若[∣AC+CB∣2=∣AC-CB∣2]，则[AB·AC]= ________。

解：由[∣AC+CB∣2=∣AC-CB∣2]，得[AC·CB=0，所以AC⊥CB，所以AB·AC=r2]，答案：[r2。]