把握认知起点开展自主学习

李文铿

摘 要：在小学数学的课堂教学中，教师如能根据学生的认知起点来设计教学活动，就能更好地促进学生自主学习、思考。在这一点上，数学史给了很好的启示。把数学史融入“圆的周长”的教学中，从学生的认知起点出发，开展自主学习活动。

关键词：认知起点；自主学习；数学史；圆周率

“圆的周长”是人教版教材六年级上册“圆”中的内容，本课的其中一个教学重点是对圆周率意义的理解。教材通过计算圆的周长，引导学生尝试用不同的方法测量圆的周长，进而引导学生从圆本身的特征去想办法求圆的周长，最终发现圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫作圆周率。

但在实际的教学当中，笔者发现，在测量完圆的周长后，很难激发学生对“圆周率”探究的积极性。究其原因，是因为这样的编排没有从学生的认知起点出发设计教学活动。学生“听话地”按照教师的安排继续去测量直径，缺乏有效串联，不仅不利于接下来教学环节的开展，更无法促进学生主动学习和主动思考。

该如何解决这个问题呢？数学史带来了很好的启示，因为数学史不仅可以向学生展示概念的发展过程，以加深他们对概念的理解，而且融入数学史的数学课堂具有激发学生的学习动机、为学生提供探究机会的教育价值。接下来，笔者针对如何突破本课重点——对圆周率意义的理解，进行了如下的教学尝试。

一、情境穿越，激发思考

圆周率，最早在公元前1900年就已经出现了，一块约产于公元前1900年的古巴比伦石匾清楚地记载了圆周率=■=3.125。经历了近4000年的发展，圆周率这一数学概念出现在小学的课本当中，究竟它是怎么来的？古人是怎么会想到去研究它的？这些问题都可以作为学生学习圆周率的认知起点。而打开这一知识大门的钥匙就是一个日常最常见的轮子。对于古代人来说，轮子是一个伟大的发明，由于轮子的普遍应用，人们很容易想到一个问题：直径越大的轮子，滚动一周的距离越长，轮子的直径与轮子滚动一周的长度存在着什么关系？它们之间的比率是不是恒定的呢？

课始，笔者先播放一小段关于轮子发明的纪录片视频，为后面创设穿越情境做铺垫。接着，创设一个穿越到古巴比伦的场景，用动画的形式出示一大一小两个轮子，并让两个轮子在平面上滚动一周，让学生结合前面所学的数学知识，说说自己的想法。

师：同学们，在这个动画里，你发现了什么关于圆的数学信息？

（先让学生与同桌说说自己的想法，再指名汇报）

生1：两个轮子其实就是两个圆，大圆的直径比小圆的大。

（教师板书：直径）

生2：轮子滚动一周的距离就是它的周长。

（教师板书：周长）

生3：大圆滚动的距离比小圆的长，所以大圆的周长比小圆的长。

师：还有更深入的发现吗？

生4：圆（轮子）的直径越大，周长越大。

师：大家的发现很了不起，古巴比伦人也有类似的发现。

有了前面“圓的认识”的学习，学生不难有以上发现。在此基础上，笔者引导学生根据刚刚的发现提出数学问题，目的是引发学生关于圆的周长和直径的猜测，尽管不能说出预设的问题，但这样的思考正是学生认知的起点，也是对课堂生成很好的运用。

师：我们来看看古巴比伦人会有什么问题？

（利用动画的形式出示古巴比伦人关于直径与周长的问题：既然轮子的直径越大，轮子滚动一周的距离越远，那么轮子滚动一周的距离和轮子直径之间的比值是不是恒定的？）

师：同学们，你能和古巴比伦的智者一起解决这个问题吗？

生：能！

师：好！要解决这个问题，我们得先测量圆周长与直径。

通过创设一个穿越到古巴比伦的情境，把圆周率这一概念最初的发展历程重现在学生眼前，让学生亲身体验概念发展的过程，把握住学生的认知起点，引发观察、发现、猜测，并有效串联了接下来的教学环节。

二、古今同步，验证猜测

对于圆的周长，大部分学生都能很快想到测量的办法，如绕线法、滚动法等，在指名个别学生演示测量的方法后，追问学生：“为什么测量圆的周长时需要绕线或滚动，而测量三角形、正方形等图形时不用？”这个问题的目的是让学生更深刻地感悟“化曲为直”的转化思想。

接下来，结合前面的情境，让学生与古人同步，开展一个小组合作实验。

小组实验要求：

1.找一些圆形的物品，分别量出它们的周长和直径，并算出周长和直径的比值，把结果用大头笔填入表中（如下表）。

2.小组内轮流动手测量，一人测时其余人需认真观察或从旁协助，动手能力较强的学生可以先尝试、做示范。

3.先测量，再一起计算，算完一个物品再测量另一个物品。

学生利用课前准备好的圆形物品测量出圆的周长，再测量出圆的直径，再计算，最后填表。接着，笔者让各小组把表格粘贴到黑板上，让学生把所有结果进行比较，这样更有利于学生发现规律。同时，为了减少计算错误或测量误差带来的干扰，笔者在学生进行小组实验时，要关注各组的计算结果，有不是3倍多一些的结果要进行个别的干预、指导。

师：现在把各组的表格都粘贴在黑板上了，请仔细分析刚刚的问题，有答案了吗？

生1：我认为圆的周长与直径之间的比值不是恒定的，因为算出来的结果基本都不一样。

师：谢谢你的分析，其他同学有不同的看法吗？

生2：我认为这个比值是恒定的，虽然大家的实验结果不完全一样，但都是3点多，比较接近。

师：你的分析很准确，我们可以发现这个比值都是3倍多一些，结果不完全相同，是因为测量的不精确造成的。（板书）

师：古巴比伦的智者也有了发现，我们来看看。

古巴比伦智者在沙面上画一个大轮子，根据这个虚拟的轮子测量圆的周长和直径，经过多次测量和计算，发现圆的周长和直径之间的比值是一个固定值，为■=3.125。

学生利用实验的手段，通过测量、计算，发现规律，验证了圆的周长和直径的关系，这是一个不完全归纳的过程。而在这个过程当中，笔者让学生和古人“同步”开展实验，不仅提高了学生的实验积极性，古人智者的发现也起到了揭示结果的作用，让学生更好地接受圆的周长与直径的比值是一个固定值这一结论。

三、了解历史，明晰概念

师：这个比值既然是一个固定值，那我们给它起一个贴切的名字吧。

在笔者的“号召下”，学生们冒出各种“奇思妙想”，也有一些同学直接喊出“圆周率”，笔者都一一给予肯定。“给这个比值命名”，比直接介绍更能让学生对“圆周率”这个概念感到亲切，对圆周率的认知也到了一个新的起点。

“从古巴比伦人的石碑到今天小学数学课本，圆周率在这四千年里到底经历了什么样的发展？”这个时候，学生对圆周率应该是满脑子“胡思乱想”，而这样的“胡思乱想”正是他们的认知起点。因此，通过观看一个关于圆周率发展历史的微课，让学生从数学史的角度了解圆周率，不仅更合学生的“胃口”，也有利于学生建立动态的数学观。

圆周率发展历史的微课内容：

1.公元前1900年，巴比伦人用测量的方法测得圆周率为3.125；

2.公元前263年，中国数学家刘徽深知用测量的方法计算圆周率的局限性，改用“割圆”的方法算得圆周率为3.1416；

3.公元前466年，中国数学家祖冲之将圆周率算到3.1415926至3.1415927之间，这一记录在世界上领先了一千年之久；

4.1706年，英国数学家琼斯用“π”表示圆周率，圆周率是一个无限不循环小数；

5.时至今日，人类通过计算机算出数十亿位小数，但在日常的计算中，我们把π约等于3.14。

本文将关于圆周率的历史资料，根据教学目的进行了适当的改编，并与“圆的周长”的教学整合在一起，在学生面前重构了圆周率这一概念的发展过程，把握住学生的认知起点，更好地开展自主学习活动。这样的结合，使数学史不再是点缀课堂的附加物，它具有提供探究机会，帮助学生认识、理解数学等多重功能，让数学不再是冷冰冰的概念和數字，也有了人文性的一面。

参考文献：

Fauvel J.Using History in Mathrmaticts Education[J]. For the Learning of Mathrmaticts，1991，11（2）.

编辑 张珍珍