磁偏转轨迹问题的命题与解题

福建 郑行军

带电粒子在匀强磁场中的运动分析不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与运动轨迹的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数学知识解决物理问题的难度较大的考题。解决此类问题的核心要素在于找圆心、画轨迹、定半径，其中关键是确定圆周运动的圆心，只有找到圆心的位置，才能正确运用物理规律和数学知识解题。本文就轨迹问题中可能的命题方向进行整理归类，并提供相应的解题策略，供大家参考。

【命题设计1】已知带电粒子运动轨迹的三个位置

条件：已知带电粒子运动轨迹上的三个位置分别为A、B、C三点。

轨迹确定策略：连接AB作弦AB的中垂线，同理作弦AC的中垂线(也可作弦BC的中垂线)，两中垂线交点即为圆周运动轨迹圆心O，OA(或OB、OC)为轨迹半径，画出轨迹如图1所示。

【命题设计2】已知带电粒子运动轨迹的两个位置及其中一个位置的速度方向

条件：带电粒子运动经过A、B两位置且已知A位置的速度方向

轨迹确定策略：连接AB作弦AB的中垂线，过位置A作速度方向的垂线，两垂线的交点即为圆周运动圆心O，OA为轨迹半径，画出轨迹如图2所示。

【命题设计3】已知带电粒子运动轨迹的一个位置及两个速度方向

条件：已知带电粒子在磁场中经过位置A和过A点的速度方向v1，且已知过另一位置(位置未知)的速度方向v2(速度大小v2=v1)。

轨迹确定策略：延长两速度方向的作用线交于点O1，作出角O1的角平分线，过A点作速度v1方向的垂线，两线交于一点为圆周运动圆心O，OA为轨迹半径，画出轨迹如图3所示。

【命题设计4】已知带电粒子运动的三个速度方向

条件：已知带电粒子运动过程的三个速度方向分别为v1、v2、v3(速度大小v1=v2=v3)，但未知带电粒子运动轨迹的位置。

轨迹确定策略：延长两速度v1、v2方向的所在直线交于点O1，作出角O1的角平分线，同理延长两速度v1、v3方向的所在直线交于点O2，作出角O2的角平分线(也可作v2、v3方向所在直线的交点的角平分线)，两角平分线的交点为圆周运动圆心O，O点与速度方向所在直线的距离为轨迹半径，画出轨迹如图4所示。

【命题设计5】已知带电粒子运动轨迹的一个位置及速度方向、半径

条件：已知带电粒子过位置A、速度方向为v，圆周运动的半径为R，且电性已知(假设粒子带负电荷，磁场方向垂直纸面向里)

轨迹确定策略：根据左手定则确定带电粒子所受的洛伦兹力的方向，根据合力方向始终指向曲线轨迹凹侧的特点，找出轨迹圆心所在的区域，过A点沿圆心所在区域作速度方向的垂线，由半径R确定圆周运动圆心，进而画出轨迹如图5所示。

【命题设计6】已知带电粒子运动轨迹的两个位置及半径

条件：已知带电粒子运动过程经过A、B两个位置且轨迹半径为R

轨迹确定策略：连接AB作弦AB的中垂线，在中垂线上取点O1使O1A=R，由左手定则确定粒子在A点的运动方向(假设粒子带正电，磁场方向垂直纸面向里)，画出轨迹①；同理在中垂线上取点O2使O2A=R，由左手定则确定粒子在A点的运动方向，画出轨迹②，如图6所示，本命题在求解时要注意粒子运动轨迹可能有两种情况。

【命题设计7】已知带电粒子运动轨迹的一个位置、其他位置的速度方向和半径

条件：已知带电粒子运动轨迹半径为R，运动过程中经过位置A，且在另一位置(位置未知)的速度方向为v。

轨迹确定策略：以A点为圆心，R为半径画出一段圆弧(图中虚线所示)，在圆弧中取点使该点与速度方向的垂直距离为R，则该点即为圆周运动的圆心，由数学关系可知位置可能有两种情况(图中O1和O2)，由左手定则确定带电粒子在A点的速度方向，画出轨迹如图中①②所示。

【例1】在直角坐标系xOy的第一象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从y轴正半轴上的A点以与y轴正方向夹角为α=45°的速度垂直磁场方向射入磁场，如图8 所示，已知OA=a，不计粒子的重力，则下列说法正确的 ( )

B．改变粒子的初速度大小，可以使得粒子刚好从坐标系的原点O离开磁场

D．从x轴射出磁场的粒子中，粒子的速度越大，在磁场中运动的时间就越短

【解析】粒子垂直于x轴离开磁场，命题条件为已知粒子运动轨迹的一个位置及两个速度方向，粒子运动轨迹如图9所示：

【例2】如图11所示，一粒子源S可向外发射质量为m，电荷量为q带正电的粒子，不计粒子重力，空间充满一水平方向的匀强磁场，磁感应强度方向如图所示，S与M在同一水平线上，某时刻，从粒子源发射一束粒子，速度大小为v，方向与水平方向夹角为θ，SM与v方向在同一竖直平面内，经时间t，粒子达到N处，已知N与S、M在同一水平面上，且SM长度为L，匀强磁场的磁感应强度大小可能是 ( )

(2)带电粒子在磁场中运动的时间t。

【解析】本题命题条件为已知粒子运动轨迹的一个位置及两个速度方向，由于题设条件未知带电粒子的电性，故分带正电和带负电两种情况讨论。

1.若粒子带正电，轨迹如图13所示，由几何关系得：

粒子进入磁场，做匀速圆周运动，设其轨道半径为r，

2.若粒子带负电，轨迹如图14所示，

粒子进入磁场，做匀速圆周运动，设其轨道半径为r，