浅析两大类型的复合方程及其解题策略

江苏

常 莲

(作者单位：江苏省常州市前黄高级中学国际分校)

浅析两大类型的复合方程及其解题策略

江苏

常 莲

以复合方程为载体的问题一直是高考的一大热点.这类复合方程问题有效考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想，同时考查了学生作图、计算与逻辑推理等综合能力，进而能够很好地提升数学核心素养.一般地，设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f(g(x))称为复合函数，其由外函数y=f(u)和内函数u=g(x)复合而成.其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数).

根据复合函数的定义，我们把形如“关于x的方程f(g(x))=m(m为实常数)”称为复合方程，其由外方程f(u)=m和内方程u=g(x)复合而成.下面主要介绍复合方程中的两大类型及解题策略，使学生较好的掌握两大复合方程的类型以及相应的解题策略，教师在教学中可以不断地渗透数形结合、转化与化归等数学思想，从而较好的提高学生的数学核心素养.

一、同种复合方程迭代

“f(f(x))=m”型复合方程，其由外方程f(u)=m和内方程f(x)=u复合而成，内方程和外方程都是采用同一个对应法则，研究这类复合方程的根的情况，通常可以引导学生按照由外而内原则思考，流程如下图：

外方程f(u)=m根的情况

研究函数y=f(u)与函数y=m的图象的交点情况

由m的情况，确定交点坐标中u的取值情况

研究方程f(x)=u根的情况

研究函数y=f(x)与函数y=u的图象的交点情况

【解析】令f(x)=u，

∴原……