动态平衡问题的进阶学习

(安徽省滁州中学，安徽 滁州 239000)

动态平衡问题根据变化量的多少，由易到难，分为三个进阶层次，前一层次为后一层次学习做好充分的知识、思维、方法、能力的铺垫。层次的划分减小了思维的跨度，形成了合理的能力台阶和平台，力求符合中学生的思维习惯。通过进阶分层设计习题的难度和灵活度，以提升学生科学思维能力，培养理论探究和逻辑推理能力，最终达到提升核心素养的目的。

1 进阶一

三个力中一个力大小、方向确定；第二个力方向确定，大小不定；第三个力大小、方向均不确定。

图1

例题1:质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )。

A.F逐渐变大，T逐渐变大

B.F逐渐变大，T逐渐变小

C.F逐渐变小，T逐渐变大

D.F逐渐变小，T逐渐变小

解析:选择O点为研究对象，在OB绳的拉力(大小为物体重力G)、OA绳的拉力T、外力F作用下处于动态平衡，受力如图2所示。构建动态矢量三角形(如图3)，每条边的长度和箭头代表力的大小和方向，OB绳的拉力的大小和方向保持不变，动态源θ角逐渐增大，可见外力F和OA段拉力T逐渐增大。通过计算可得F=Gtanθ，T=G/cosθ。A选项正确。

图2

图3

评析:构建动态三角形，化静态思维为动态思维，将定性分析和定量分析相结合。凸显以不变应万变的思维方法，分析哪些物理量不变，哪些物理量改变，明确动态源，构建变量之间的因果关系和逻辑线索，以不变的物理量作为切入点，构建动态矢量三角形。

图4

例题2:如图4所示，轻绳一端系在质量为m的物体A上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN的圆环上。现用水平力F拉住绳子上一点O，使物体A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动。则在这一过程中，杆对环的摩擦力f和杆对环的压力N的变化情况是( )。

A.f保持不变，N逐渐增大

B.f逐渐增大，N保持不变

C.f逐渐减小，N保持不变

D.f保持不变，N逐渐减小

图5

解析:先隔离O点作为研究对象，受力情况如图2，构建动态矢量三角形如图3，本题动态源θ角逐渐减小，所以外力F逐渐减小。再选择系统为研究对象，整体受力情况如图5，在四个力作用下处于动态平衡，可见摩擦力f不变，弹力N逐渐减小。D选项正确。

评析:例题2和例题1既有相似之处，也有区别，思维方法都是构建动态矢量三角形，体现以不变应万变的思维，但研究对象从部分到系统，研究方法从隔离法到整体法，思维出发点从局部分析进阶到整体分析。

2 进阶二

三个力中一个力大小、方向确定；第二个力大小确定，方向不定；第三个力大小、方向均不确定。

例题3:如图6所示，杆BC的B端用铰链固定在竖直墙上，另一端C为一滑轮。重物G上系一绳跨过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡。若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则( )。

A. 绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大

B. 绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大

C. 绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小

D. 绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变

图6

图7

例题4:如图8所示，质量为m的小球通过一细线悬挂在天花板上，在一大小不变的外力F(F

图8

图9

评析:本题的最大特点是外力F的大小确定，方向具有任意性，构建一圆，半径代表力的大小，沿任意半径方向代表力的方向。为了达到平衡三个力必须构建闭合三角形，从而把物理问题过渡为几何问题，有效提升学生的利用数学工具解决物理问题的能力。

3 进阶三

三个力中一个力大小、方向确定；其余两个力大小与方向都不确定。

例题5:如图10所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定圆环上的A、B两点，O为圆心。O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA成α=120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是( )。

图10

A.F1逐渐增大

B.F1先增大后减小

C.F2逐渐减小

D.F2先减小后增大

解析:选择结点O为研究对象受力分析如图11，构建矢量三角形，同时确定此三角形的外接圆，根据几何知识满足动态平衡的一簇三角形如图12。两绳同时缓慢顺时针转动过程，F1先增大后减小、F2逐渐减小。B、C选项正确。

图11

图12

图13

评析:两个细线的拉力大小和方向同时改变，要求学生的逻辑推理更加缜密。从单一变量进阶到多个变量，更需要学生对“以不变应万变”的思想有更深层次的理解，动态三角形的构建需要考虑的因素更为复杂。

例题6:如图13所示，建筑工人用轻绳将材料运到高处，使材料与竖直墙壁保持一定的距离L。在建筑材料被缓慢提起的过程中，绳AB和DB的拉力F1和F2的大小变化情况是( )。

A.F1增大，F2增大

B.F1增大，F2不变

C.F1增大，F2减小

D.F1减小，F2增大

解析:选择结点B点为研究对象，受力分析如图14，建筑材料被缓慢提起时α逐渐增大，β逐渐减小，G的大小和方向保持不变，构建如图16的矢量三角形，可见F1和F2逐渐增大。A选项正确。

图14

图15

图16

评析:变化的物理量从一个力的大小不确定、一个力的大小和方向不确定进阶到两个力的大小与方向都不确定。但有一点始终不变，三个力的合力为零，可构建一个闭合的矢量三角形。

4 结语

通过以上的进阶学习，可使学生掌握解决动态平衡问题的关键：明确哪些物理量不变，哪些物理量变化，构建动态三角形，结合三角函数、正弦定理、相似性等进行综合处理。