基于学生学习能力培养的数学分析习题课教学探讨

摘 要 本文主要是基于数学分析习题课的教学探讨以促进学生应用能力的培养的研究。在习题课教学中，教师要有意识、有目的地结合数学分析课程的实际，引导学生积极地参与到整个解题思维过程，培养学生形成活用数学方法的能力、探究问题的能力、概括总结的能力。

关键词 数学分析 数学思想 数学能力

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.03.051

Discussion on the Teaching of Mathematical Analysis Exercises

Based on Students' Learning Ability

LIAO Chunyan

（College of Science， Hunan University of Science and Engineering， Yongzhou， Hunan 425199）

Abstract This paper is mainly based on the teaching of mathematical analysis exercise class to promote the cultivation of students' application ability. In the teaching of exercise class， teachers should consciously and purposefully combine with the actual of mathematical analysis course to guide students actively participate in the whole process of thinking ways of solving problems ，develop students form the ability to flexible use mathematical methods， explore the question and summary.

Keywords mathematical analysis； mathematical thought； mathematical ability

数学家王梓坤院士在院士科技报告《今日数学及其应用》中曾说：“数学给予人们的不只是知识，更重要的是能力，这种能力包括直观思维、逻辑推理、精确计算和准确判断”。[4]数学训练是数学教学的一个重要环节，而数学习题是组织数学学习训练的主要载体，也是最有利于促进学生应用能力和创新能力及理解掌握各种数学思想，培养逻辑思维能力的过程中最具活力的因素。

1 精选习题，抓准基础知识是核心

数学分析所涵盖的基本概念、基本定理、相关性质、特殊公式等纷繁复杂，习题课的教学中，要求教师课前精选习题。习题课中所选示范题应具备综合性，并侧重于覆盖教材中的基础知识，使所选习题都尽可能的融入多个知识点，并能突出重点和难点。数学分析中的练习题众多繁杂，如何從众多的参考书籍中挑选恰到好处的习题，这就需要任课教师精挑细选，针对学生在学习过程中出现的一些常见的疑难问题、具有共性的、难度较大的概念、重要定理的条件和使用要领作出详细的分析与解答。所选习题要融入数学分析课程最基本的解题思路，最基本的数学思想方法。所选之题多变灵活，能通过一题多解多题同解及一题多变培养学生的解题能力和解题思想。数学教材中的课后习题就是很好的选择，教材中的习题都是经过专家数年的精挑细选，与教学内容相匹配的代表性题目，其背后往往蕴含着丰富的教学背景和教学思想。因此，我们应充分发挥数学分析教材中例题习题的作用。

2 强化解题策略中的分析过程

解题是一种技能，初学数学分析的学生，在做题的过程中更多的是观察模仿，例如最初利用定义法证明极限问题，例如导数的定义法证明可导等等，最后通过不断的实践来掌握各种解题技能。因此教师在解题的过程中，应强化习题中的分析过程，将制定解题策略的全过程分析清楚，并以适合学生程度的问题吸引学生参与解题的全过程。

例1 设，且，证明[1]

分析：要解决这道题目似乎不知道用数学分析的哪个知识点，我们不妨从所给的条件中慢慢分解，看能否出一些结论。

第一步：分析条件。由条件我们可以分析到什么结论呢？不难发现分母极限为0，极限要存在则分子的极限必为0，得。又，说明什么呢？说明二阶可导，则必定连续，同时可知单调增加。故，进一步得到。

第二步：分析结论。我们需要证明，引导学生依据条件中极限的形式，证明在时，和时，即可。

第三步：整合结论，进一步给出详细的分析过程。考虑在的左右导数，由Lagrange中值定理有

（i） 当时，，其中（0，），；

（ii） 当时时，，其中，；

（iii）当时时，。

综上所述，对任意， 都有。

本题所覆盖的知识点很多，解题技巧强。习题课的教学不能仅仅为了解决出某一道题，而是在解决该问题的过程中，学生是否掌握了分析并解决类似问题的能力。习题课的教学中教师应重视解题的细化过程，通过逐步分析引导学生思考，总结题目的特点，得出一些今后在解决相关问题的结论，即：已知（或），讨论的性质，一般方法是通过的单调性和Lagrange中值定理来完成。

3 开拓解题思路，探索解题技巧，培养学生数学创新精神

数学分析的学习是循序渐进且环环相扣的，要开拓学生的解题思路，在学生已经具备了一定的知识基础之后，探索未知的知识层面中，应让学生充分思考和摸索解题思路，着重把握解题的核心和本质。对重点内容进行专题训练，使某一知识、计算技巧得到强化，强化学生的应用及发展能力。培养学生的创新意识、应用意识及综合能力是数学教学的最终目的。因此在习题课的课堂上，应该选择新颖灵活、贴近生活的应用型、实践性、创新性、开放性的问题来激发学生的思维。利用一题多解，同一个问题不同的条件，同一个条件不同的问题来启发学生的解题思路，有利于学生巩固已学知识，开拓解题思路，探索解题技巧，训练解题的灵活性，增强解题能力。在比较各种方法的基础上，总结出一些规律性的东西，进一步提高学习效果。

例2 设，求[2]

分析：这道题目用定义法去做比较复杂，不难发现曲线是圆心为原点的圆，具有轮换对称性，所以有

，

，

所以。

将问题做点变化：

（Ⅰ） 如果将被积函数换成，如何求解呢？

考虑曲线方程及被积函数之间的关系

，

由上例即可求解。

（Ⅱ）如果将曲线换成设，上述两个积分问题又如何求解呢？

这时候曲线不是过圆心的圆周，求出曲线的半径，， 由例2知

，。

总结第一型曲线积分的计算方法：想办法将被积函数变成曲线方程的形式有利于积分的求解。

4 充分发挥解题过程中所蕴含的数学思想方法[3]

数学思想是对数学问题的理性认识。在数学分析的解题过程中，我们不能一味追求将题目解出来即可，我们应在解题的过程中发现解题过程中所蕴含的思想方法。教师可以自觉地，有目的地加以培养。例如我们在求解多元函数的极限问题的时候，我们自然而然地就将一元函数求极限的基本方法迁移过来（如无穷小乘有界仍是无穷小，无穷小的等价代换，例如两个重要极限的结论等）。再如定积分的分割、近似、求和、取极限的思想也是反常积分，含参量的反常积分、多元函数积分学的基础。又如，数学分析中的四大主要积分公式：牛顿—莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都是建立了区域上积分与其边界上积分的关系，其中格林公式和高斯公式，不仅结论相似，证明方式也类似，在解题的过程中所需要满足的条件也相似，所以在讲授这几个公式应用的同时，能够从理论上概括和提炼其中所蕴含的思想方法——类比，并系统地向学生系统介绍这一思想方法的内涵以及在解题过程中应用这种方法建立的一些结论。

5 结束语

高质量的习题课不应该是只注重问题的解决。事实上，习题课中的题目往往有多种解法，我们在讲解的过程中往往只能挑学生最容易理解，比较易于接受的求解方式，但这种做法有的时候并不是最简捷、最巧妙的。所以我们仍然应鼓励学生去发现属于自己的更好的解题方法，只有这样，才能真正学好数学分析这门课程，在习题课教学过程中，将解题技巧及学生能力的培养融合应用，以数学分析的基础知识、基本理论、基本方法为内核，灵活多变的解题技巧为外壳，融合数学思想方法的气质，创造一种全新的数学分析习题课教学表达。

基金项目：湖南科技学院教改项目（课题编号XKYJ2017003）；

湖南科技学院教改项目（课题编号XKYJ2017005）

参考文献

[1] 陈纪修等编.数学分析（上）（第二版）[M].高等教育出版社，2004.10.

[2] 華东师范大学数学系编.数学分析（上）（第三版）[M].高等教育出版社，2001.6.

[3] 廖春艳，赵艳辉.数学分析课程中数学概念教学的探讨[J].湖南科技学院学报，2014（5）：4-6.

[4] 中国科学院数学物理学部.今日数学及其应用[J].自然辩证法研究，1994（1）.