数学实验：具身认知视野关照下的学习方式

卢琴

【摘要】当下，儿童“数学实验”学习面临困境：媒体观影对“数学实验”具身操作的代替，动手操作对“数学实验”具身思想的忽视，追求结果对“数学实验”具身过程的僭越。具身认知理论提倡以“身体”认识世界，心智离不开身体经验，数学实验中能积累丰富的身体经验，因此提倡儿童“数学实验”学习就有很强的现实意义和价值。构建具身认知视野关照下的数学实验“情境场”“发生场”和“评价场”，才是小学数学实验学习困境的出路。

【关键词】数学实验；具身认知；学习方式

数学家欧拉曾说过：“数学这门学科，需要观察，更需要實验，许多定理都是靠实验、归纳发现的。”数学实验不仅是数学家研究数学的主要方式，也是小学生学习数学的一种重要方式。但由于部分教师对数学实验教学观念的过时、对教材解读的肤浅、对教学过程的功利导致其把学习视为一种可以“离身”的精神训练，忽视了数学实验中基于身体、源于身体的具身学习价值。具身认知的中心观点是，认知、思维、记忆、学习、情感和态度等是身体作用于环境的活动塑造出来的，数学实验恰恰就是身体、环境、心智共同参与的学习方式。通过审视小学“数学实验”的困境并基于具身认知视野下寻求出路已刻不容缓。

一、儿童“数学实验”学习的困境

1.媒体观影对“数学实验”具身操作的代替

很多人认为小学数学不需要数学实验，儿童学习的主要任务就是听讲和解题，而且数学实验要为学生准备实验工具进行实际操作活动，实验过程中还可能存在误差导致结果的不确定性，儿童的“数学实验”具身操作过程常常被媒体观影所代替。例如研究《圆锥的体积》时利用多媒体课件演示一个圆锥装满水向一个与它等底等高的圆柱里倒，连续倒了三次正好倒满，从而让学生得出圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。学生没有具身实验，而是观看多媒体课件，课件演示的实验结果是否真实可信？这样缺少动手试验和理性思考的媒体观影课，让学生的探究能力和理性思考能力都无法得到发展与提高。

2.动手操作对“数学实验”具身思想的忽视

数学是思维的体操，小学生的思维发展又以具体形象为主，所以小学数学教学中教师经常让学生进行动手操作，以加强学生的体验，但要警惕的是千万不能让学生沦为机械的操作工，忽视感悟、体验与应用数学实验中蕴含的具身思想。例如研究《一一间隔排列中的规律》时利用小棒和圆片进行数学实验，但缺少对相应学具的分组操作，更忽视让学生感悟对应思想，学生的思维仍停留在直观层面，无法理解为什么两端物体相同，两端物体会比中间物体多1，从而导致在练习过程中什么时候加1，什么时候减1，什么时候相等，学生都茫然不知所措、无从下手。

3.追求结果对“数学实验”具身过程的僭越

数学实验的目的在于探索数学结论或者验证数学猜想，有的老师就着眼于得到结论，为了追求实验结果的一步到位或实验过程的顺利通畅，而对数学实验的步骤提前告知、过度引导、走形式走过场，导致学生在实验过程中跟着实验步骤简单操作，缺乏具身学习所积累的多种经验，更谈不上思维的灵活与深刻。例如研究《圆的周长》时提前让学生预习了解圆周率的含义，课上让学生用“绕线法”“滚圆法”或“软尺测量法”测量圆的周长，学生通过测量和计算发现结果并不是3.14，有的学生为了得到3.14这个值而篡改测量数据，还有的干脆不进行实验直接计算，教师在学生实验的过程中没有及时给予方法指导缩小测量误差，更没有让学生深刻体会实验误差是必然存在的道理，生动有趣的数学实验因为盲目追求正确结果导致对学生具身过程的僭越。

二、探寻儿童“数学实验”困境的原因

1.教师对“数学实验”教学观念的“过时性”

谈到数学实验，超过九成的教师都认为开展小学数学实验很有意义也很有必要，但实际开展数学实验的不到三成。教师普遍认为开展数学实验费时较多，影响数学教学的进程；学生自控能力较差，实验操作会打乱课堂教学秩序；准备实验器材需要耗费大量精力，实验结果也未必能通过数学实验顺利得出。与其花费大量时间和精力来“做实验”，不如“听实验”“讲实验”“演实验”，方便又省事，正因为这种对“数学实验”教学观念的“过时性”，造成学生想不到做实验，更不会做实验。

2.教师对“数学实验”教材解读的“肤浅性”

谈到数学实验，大家很容易联想到科学实验，于是认为一节课就为了做一个大实验，而一节课中一个小的实验就认为不是数学意义上的实验。其实苏教版小学数学教材中除了“动手与实践”领域的主题实验课，还有大量丰富的数学小实验，教师要对数学教材进行深入解读与挖掘，为学生提供真实而鲜活的数学实验情境。例如研究《用方向和距离确定位置》时，教材直接告知“北偏东”“北偏西”这样的表述，教师不能肤浅地照搬照套，可以用数学实验为学生开辟新的学习路径，让学生用直尺、量角器等工具进行反复实验，从而对相关位置的描述趋于准确，并就测量方向的“基准”进行讨论，最终形成对指定位置的准备表述。

3.教师对“数学实验”教学过程的“功利性”

在实际教学过程中，有些教师把学生看成储存知识的容器，一味地往里面倒数学知识，把学生看成做作业的机器，反复地进行解题的训练和强化。例如研究《三角形的内角和》时需要让学生猜一猜、量一量、拼一拼、折一折，实验得出“三角形的内角和是180度”，但有的老师认为花费这么多时间来进行实验，还不如直接告诉学生结论，把从实验节省下来的时间用来多练几道变式题，这种功利性的教学过程，让学生的数学学习变得索然无味，他们无法体验到实验所带来思维的自由驰骋、身心的自然舒展、素养的熏陶和提升。

三、具身认知视野关照下“数学实验”学习的内涵诠释与价值建构

1.具身认知视野关照下“数学实验”学习的内涵诠释

具身认知理论认为，认识过程根植于身体活动，它是被身体作用于世界的活动塑造出来的①，所以认识依赖于身体各种不同感受器的多样的经验。而小学数学实验是在数学思想和数学教学理论的指导下，学生借助实物和工具，通过对实验素材进行“数学化”的操作来建构数学概念、验证数学结论、探索数学规律、解决数学问题的一种数学学习方式②。这与具身认知理论不谋而合，因此儿童的学习方式依托“数学实验”要从离身学习走向具身学习将成为一种必然。

2.具身认知视野关照下“数学实验”学习的价值建构

（1）具身实验促进学生深度的知识理解。

深度的知识理解光靠想像是难以实现的，需要以直观的事物作为载体进行分析与探究，数学实验就能将直观和抽象紧密结合，教师可有针对性地安排多层次的具身实验，让学生在实验中将心智根植于身体，把身体根植于环境，从身体和环境的互动中深刻地理解、把握知识的本质和联系，能将学到的知识进行深层加工、多变处理和灵活运用，能够用不同的方式对各个知识点进行关联，并在头脑中串成知识链、织成知识网，形成知识的结构体系。

（2）具身实验促进学生积极的情感体验。

数学大师陈省身为儿童题词“数学好玩”，但好玩的数学似乎只有少部分优等生才能体会到，大部分学生觉得“数学枯燥”“数学难学”，对数学学习产生抵触的情绪。学生最初学习的动力来自环境的压力，但外在压力对学习的效果能否持久，关键就在于外在压力能否转化成内部的需要①。数学实验给孩子们提供更多动脑思考和动手实践相结合的机会，学生所表现出的浓厚的兴趣、探索的欲望和积极的状态是非常强烈的，这时学习的外在压力已然转化成学生的内部需求，学生在数学实验的情境中体验到与知识接触的快乐，体验到身体的意志和归属。

（3）具身实验促进学生主动的学习参与。

学习不是一个孤立于个体内部的私有过程。一个有着内在学习需求的个体加入到社会互动中，与他人分享自己的观点，并在互动过程中对自己的观点进行修正①。数学实验为学生创造了社会群体学习的关系模式，学习者所处的群体环境是宽松的，心理是放松的，当学生在遇到困难时能主动向同伴求助，当学生获得成功时敢于展示和表述，共享实验中获得的知识与智慧。数学实验为学生提供的具身学习环境让学生对学习的外在兴趣转向内在的学习志趣和意志，促发学生放松身心、积极参与、思维驰骋。

（4）具身实验培养学生的创新精神和实践能力。

具身学习是一种“嵌入”身体和环境的活动，嵌入身体意味着实践性，意味着个体直接经验的重要作用；同时，嵌入环境意味着知识产生于环境，任何知识都是具体的、依赖于情境的，身体力行的实践经验是学习能否成功的关键①。数学实验能让学生在实验环境中通过操作、观察、分析、猜想和推理等数学活动积累大量身体力行的实践经验，实现数学知识“再创造”和“再发现”的过程。基于这一过程，学生不仅能获得对数学知识的更深刻理解，更能真切地体会到新知识被创造、发现的过程，从中还能进一步去反思、提炼创造新知识的方法，这样的学习过程，无疑可以将培养学生的创新精神和实践能力的教育目标落到实处。

四、具身认知视野关照下“数學实验”学习的智性实践

1.构建“实验情境”场，激活“离身学习”→“具身学习”的外部环境

（1）深度挖掘“教材内容”，着力创设实验情境。

数学实验具有操作性、反复性和探索性，数学课程内容的四大学习领域中有丰富的数学实验内容，例如“数与代数”领域中有利用计数器建立数概念的学具操作实验，有认识整万数、整亿数进行数级拓展的创造实验，有数的大小比较中的对比实验，有各种运算律的探究实验，还有找规律的发现实验等；而在“图形与几何”领域中有对图形特征的理解型实验，有对几何图形的定理、公式的探究型实验，还有对已经知道或大概知道的几何结论的验证型实验等；在“统计与概率”领域中随机事件的概率研究需要借助多次实验寻找规律，统计活动往往伴随着实验现象的研究而产生；“综合与实践”领域中的数学实验则更多，以问题为载体，综合运用各种知识和方法解决问题。教师要善于挖掘教材中可作为实验的教学内容，为学生实验创设真实而鲜活的数学情境，这个情境能够聚焦大问题、催生新问题，能够激活学生的认知和方法储备，支撑起对新知的主动探索与建构。

（2）立体拓展“编者意图”，系统搭建实验平台。

教材不仅规定了教学内容，而且制约着教师如何教、学生如何学，引导着课堂教学活动的组织和展开。在钻研教材的具体教学内容时，需要立体领会编者意图，把握教学内容的弹性，基于学习需要可以将教材中的一道习题或一次综合实践活动作为实施数学实验的切入点，为学生系统搭建实验平台。例如研究《一亿有多大》时，教师可以采用数学实验的形式立体拓展教学内容。

实验一：数一数，从时间上感受一亿的大小。（1）记录数20本本子的时间。（2）推算数一亿本本子需要的时间。

实验二：量一量，从高度上甘薯一亿的大小。（1）估计一亿枚硬币的高度。（2）测量10枚硬币的高度。（3）推算一亿枚硬币的高度。（4）与世界最高峰珠穆朗玛峰比高度。

实验三：掂一掂，从重量上感受一亿的大小。（1）估计一枚硬币的重量。（2）称出10枚硬币的重量。（3）推算一亿枚硬币的重量。（4）计算用载重量10吨的卡车运需要多少辆。

通过猜想、实验、推理和验证，学生利用身边可想像素材的对比，直观地感受一亿的大小，形成一亿有多大的直观表象和感受，建立了数感，获得了成功的体验。教师立体拓展编者意图，借助数学实验将学习内容的外延打开，让学生走进更广阔的数学天地，获得更丰富形象的数学体验。

2.构建“实验发生”场，催化“离身学习”→“具身学习”的动力机制

（1）找准学生“深度认知”起点，激活学生“数学实验”学习需求。

数学实验的基本模式是“问题—实验—交流—猜想—验证”，可见数学实验是以问题为链接点的连续的活动，学生的实验与操作都伴随着问题的发生与解决，因此这个问题就是学生深度认知的起点，找准这个起点，就能激活学生数学实验学习的内在需求，促发学生自主设计实验，真正让实验成为知识与思维融合的媒介，成为感性向理性升华的平台。例如在四年级学生认识角、学会角的度量、角的分类和画角之后开展了《折角》的数学实验课。

实验一：动手折一折，哪些长方形纸片，能折出30度角？

提出猜想：同样是长方形纸片，为什么有的能折出30度角，有的不能？长方形纸片能不能折出30度角，你觉得可能和什么有关？

自主设计实验二：你觉得我们可以做些什么？我们可以做实验，用事实说话，来验证猜想。这个实验怎么做呢？

全班交流：你打算怎样做这个实验？一个长方形够吗？选取的长方形要注意什么？需要测量哪些数据？

达成共识：选取一些大小不同的长方形纸片，其中要有长是宽的2倍的作为正例，还要有长不是宽的2倍的作为反例；量出长方形的长和宽，再折出角看是不是30度，最后分析实验数据得出结论。

在这节数学实验课上，学生的主体地位得到更加充分的体现：学生通过实验发现数学现象，紧紧围绕“长方形纸片能不能折出30度角与什么有关”这个关键问题出发，引发猜想，提出实验方案，再通过实验得出结论。对于实验方案，教师没有直接提供给学生，而是让学生在独立思考和小组交流中先行设计出自己的方案，然后在师生交流碰撞中不断完善设计方案，明晰实验过程，本着“谁的设计谁做主”的主人翁意识，激活了学生数学实验的学习动机，促使学生有条不紊地开展实验活动。

（2）立足学生“深度操作”视角，提升学生“数学实验”学习经验。

数学实验是数学活动的基本形式，需要学生在“做中学”，“从做中学”恰恰体现了具身原则①。学生利用一定的操作工具、实物材料和技术手段对实验素材进行数学化的深度操作，借助实验的“可视化”促进学生数学高阶思维的发展，使学生在“再实验”“再创造”的过程中积累数学实验的活动经验。例如研究《表面涂色的正方体》时，教师可采用探究型数学实验让学生在深度操作中亲历知识形成过程。

实验一：将准备好的涂色正方形土豆的每条棱平均分成2份，能切成多少个同样大的小正方体？每个正方体有几个面涂色？

实验二：将准备好的涂色正方形土豆的每条棱平均分成3份，能切成多少个同样大的小正方体？切成的小正方体中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的各有多少个？有6个面都不涂色的吗？

实验三：如果将每条棱平均分成4份、5份，猜想：3面涂色、2面涂色、1面涂色和6个面都不涂色的各有多少个？动手操作进行实验验证，并填写表格。

归纳：如果n表示把大正方形的棱平均分的份数，用a、b、c分别表示2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方体个数，你能用式子分别表示n和a、b、c 的关系吗？

学生借助于直观材料动手实验，通过前两次分割正方体初步感知不同面涂色正方体的个数情况，再通过第三次分割的猜想、实验、验证、填表并归类得出结论，逻辑层次明显，变式学习充分。学生在操作、猜想和验证的过程中使身体、神经、感官和运动系统都参与其中，特别是第三次实验学生已经逐步剥离操作技能，趋向发现规律的智慧技能。数学实验促发学生从动作技能向认知思维的过渡，体现出知识的生成性，体现出学科知识和学习经验的融合。

3.构建“实验评价”場，实现“离身学习”→“具身学习”的素养生长

（1）高位引领“深度反思”，形成“数学实验”意象图式。

具身认知的研究揭示，认识过程所依赖的概念和范畴是通过身体与世界的互动形成的，是身体作用于世界的那些反复、经常的模式构成的认识方式，是一种身体动作经验，“意象图式”就是由具身经验而形成的认知结构①。教师要善于在实验后高位引领学生进行深刻反思，让学生逐步形成相关数学实验的意象图式。例如在认识圆后设计“车轮为什么是圆形的”④这一专题性实验。

明确主题，交流方案：围绕“车轮为什么是圆形的”这一主题分小组确定小课题：“车轮只能是圆的吗？能不能是其他形状的？”“车轮的轴心一定要安装在圆心位置吗？能不能安装在其他位置？” “方轮车能顺利前行吗？与什么有关？”各小组在教师的帮助下初步形成实验方案。

分组实验，展开研究：各小组围绕实验方案，根据实际需要，在教室、实验室或其他场所完成各自的实验活动。

展示汇报，实验反思：各小组汇报交流研究的过程和结论，教师引导学生回顾反思：本小组实验研究经历了怎样的过程？你有什么体会与收获？

联系生活，拓展应用：通过这次的主题研究，引导学生继续研究相关主题——“摩天轮为什么是圆的”“瓶盖为什么是圆的”……

学生通过实验，研究车轮做成圆形的原因，在反思交流的过程中对“确定主题—制定方案—开展实验—交流发现”这一完整的数学实验过程达成共识，形成类似实验的意象图式，并主动运用这一意象图式进行相关实验的研究，从而提高学生研究问题和解决问题的能力，并让学生在实验中获得“数学好玩”的情感体验与“数学有用”的价值认同。

（2）全面落实“多元评价”，彰显“数学实验”育人价值。

评价的主要目的是为了全面了解学生开展数学实验的过程与结果，激发学生参与数学实验的兴趣，提升教师数学实验教学的实效。评价不能纯粹关注学生获得的数学实验结论，更要关注学生在数学实验过程中的发展。教师应全面落实“多元评价”：教师评价与学生评价相结合，过程性评价和结果性评价相结合。过程评价就是利用每一个实验结合学生的表现，通过自评、伙伴评和教师评三大板块激励学生的自主发展，结果评价就是教师布置相关实验让学生自主研究得出结论，也可以在实验后让学生自主撰写研究报告，学生在研究报告中能清晰地回顾自己亲身经历的实验过程，包括成功的经历，还有错误、挫折及调整的经历，这些数学实验方法都将内化为学生的数学活动经验，学生在数学实验现象和实验结果关系的反思中还能感悟数学思想，提升高阶思维和学科素养。教师可以合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，让学生在数学实验中成事、成人，真正彰显出数学实验的育人价值。

儿童的智慧就在他的指间，数学实验作为具身认知视野关照下的学习方式，融环境、身体、心智为一体，将资源、素材、主客体在活动情景中有机组合，使直观的实验操作向抽象的高阶思维转化，使固有的文本知识向人文智慧迁移，使离身的学习文化向具身的身心一体进化，真正实现身体与心智的同生共长！

【参考文献】

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