基于交叉熵与风险偏好的多属性决策分析

梅孔椿,,,2,

(1.安徽大学 数学科学学院,合肥 230601; 2.安徽大学 计算智能与信号处理教育部重点实验室,合肥 230039; 3.安徽广播电视大学 教育科学学院,合肥 230022)

0 概述

自模糊集理论[1]被提出以来,目前已经被广泛应用于生物医学、航空航天、统计决策等各个领域。随着人们对模糊集理论研究的深入以及实际应用的不断变化,传统的模糊集理论已经不能满足发展需要。因此,二型模糊集理论[2]被提出。二型模糊集理论相关研究[3-4]的展开,使其比一型模糊集理论有了更为广泛的应用与发展。例如:文献[5]提出了一个新的表示定理,为分析区间二型模糊集(Interval Type-2 Fuzzy Sets,IT2FSs)提供了方便;文献[6]提出了区间二型模糊集的3种排序值公式,将模糊集的优劣关系以函数的形式表达出来;文献[7]提出了模糊熵的概念。在对二型模糊集和区间二型模糊集的研究中,熵的提出是对二型模糊集不确定性程度的一种度量。例如:文献[8]定义了对IT2FSs不确定性的测度,如质心、基数、方差等;文献[9-11]对模糊集的不确定性熵度量等做了深入研究,并提出以犹豫模糊熵的概念来度量模糊集的犹豫度;文献[12-13]提出了区间二型模糊集的模糊因子、犹豫因子等模糊信息测度。此外,文献[14]提出的T2FSs不确定测度以及文献[15]提出的对直觉模糊熵的几何构造方法,都对二型模糊集的不确定性熵研究提供了重要参考。

在多属性决策过程中,除了考虑决策的客观因素外,更要考虑到决策者的主观因素,即决策者的风险偏好,决策者的风险偏好往往会影响到最终的决策结果。本文首先设计一种新的排序值公式,同时定义风险偏好因子并引入区间二型模糊交叉熵公式;然后基于交叉熵和风险偏好因子分别在属性权重完全未知和属性权重部分已知的情况下,构建最优化线性模型,探讨风险偏好对属性权重的影响;最后列举一个实例验证该模型的可行性与有效性。

1 知识准备

定义1(二型模糊集) 假设A是论域X上一个二型模糊集,则A可表示为A={((x,u),μA(x,u)):∀x∈X,u∈Jx∈[0,1]},其中,0≤μA(x,u)≤1,u为主隶属度,μA(x,u)为次隶属度。此外,A还可以表示为[16]:

(1)

定义2假设A是论域X上一个二型模糊集,如果对任意的x∈X和u∈Jx有Jx≡1,则A就为区间二型模糊集,表达形式如下[16]:

(2)

设A是论域X上一个二型模糊集,定义A=(AU,AL)为X上的区间二型模糊集,因此,有:

定义3对于任意的区间二型梯形模糊集A,A的运动轨迹由其主隶属度函数完全确定,将此运动轨迹定义为A的不确定轨迹FOU(A),令AU(x)和AL(x)分别表示为A在x上的上下隶属度函数,则AU(x)和AL(x)表示如下:

(4)

(5)

对于X上的所有区间二型梯形模糊集来说,其补集用AC表示,一般表达形式定义如下:

AC= ((AC)U,(AC)L)=

2 区间二型模糊集的排序值公式

文献[6]提出了区间二型模糊集的算术平均、几何平均以及调和平均3种排序值公式,其中几何平均和调和平均排序值公式存在以下弊端:当二型模糊集中只要有元素为0,排序值就为0,这与实际情况是不符的。因此,本文在此基础上提出一种新的排序值公式,以解决该问题。

定义5对于一个区间二型梯形模糊集A,其排序值公式定义如下:

根据定义6,A、B的偏好关系可以通过式(6)得到,这是因为排序值都是实数,实数是可以对比大小的,所以对任意的2个区间二型梯型模糊集A、B,利用排序值公式可以得到其间的3种对应关系,本文规定如下:

1)如果R(A)

2)如果R(A)>R(B),即表示A优于B,用A≻B表示。

3)如果R(A)=R(B),即表示A等同于B,用A≅B表示。

定理1设A是区间二型梯型模糊集X上的一个模糊数,对任意的A都有0≤R(A)≤2。证明如下:

因此,得到0≤R(A)≤(1+1)×1=2。

设X是一个论域,对于任意的A∈X,0≤R(A)≤2,且排序值越大越优,即当A,B∈X时,如果R(A)>R(B),则记为R(A)≻R(B),反之,即为R(A)R(B)(R(A)

3 区间二型模糊熵

在区间二型模糊环境中度量2个区间二型模糊集的模糊关系,在实际应用中具有非常重要的作用。文献[17]对区间二型模糊熵做了一些研究,对研究区间二型模糊的不确定性有一定的帮助。本文给出一种在区间二型模糊集中的交叉熵,以描述2个区间二型模糊集之间不确定信息的识别程度。交叉熵的不确定性度量包含3个部分:模糊性,犹豫性和区间性(分别用δ、σ、φ表示)。本文利用区间二型模糊集的模糊性、犹豫性和区间性度量2个模糊集之间不确定信息的识别程度。

对任意一个A∈X,式(7)表示模糊因子,式(8)表示犹豫因子。

IT2TFS的区间因子表示如下:

(9)

定义7设A,B∈X,则A对B的区间二型模糊交叉熵定义如下:

(10)

从式(10)中可以观察到CE(A,B)是不对称的,因此,给出如下对称形式:

DE(A,B)=CE(A,B)+CE(B,A)

定理2设A∈X,DE(A,B)是区间二型模糊集A、B的对称交叉熵,则DE(A,B)满足以下3个性质:

性质1DE(A,B)=DE(B,A)。

性质2DE(A,B)=DE(AC,B)=DE(A,BC)=DE(AC,BC)。

性质30≤DE(A,B)≤3ln2。

证明如下:

性质1:很容易可以验证,不再证明。

性质2:因为前面已经证得δA=δAC,σA=σAC以及φA=φAC,同理可得到δB=δBC,σB=σBC以及φB=φBC,可以得到DE(A,B)=DE(AC,B),DE(AC,B)=DE(A,BC)以及DE(A,BC)=DE(AC,BC),所以性质2得证。

定义8设A∈X,C*是一个确定的模糊集,则区间二型模糊集A的熵定义如下:

(11)

相对于δ*、σ*和φ*,区间二型模糊集A的熵E=f(δ*,σ*,φ*)是实值函数,因此,对任意A∈X,熵E(A)满足以下4条公理化性质:

2)对任意的A∈X,0≤E(A)≤1。

3)E(A)=E(AC)。

4)f(δA,σA,φA)是一个连续的实值函数,且随着δA的增大而减小,随着σA、φA的增大而增大。

证明如下:

第1条性质证明:假设C*是一个明确集,那么A=C*或A=(C*)C,所以有DE(A,C*)=0⟹E(A)=0。反之,假设E(A)=0,即DE(A,C*)=0,因此,由定义8可知δA=δC*=1/2,σA=σC*=0,φA=φC*=0,即A=C*或A=(C*)C,即A是一个明确集。

第2条和第3条性质由以上的定义定理便可证明。

由上述分析可知,f(x,y,z)随着x的增大而减小,随着y和z的增大而增大。同理可知f(δA,σA,φA)是一个连续的实值函数,且随着δA的增大而减小,随着σA、φA的增大而增大。

4 风险偏好函数

风险偏好是决策者对风险的一种偏好程度。风险是可测量的,但不确定性是难以度量的。风险偏好是一种不确定性,面对这种不确定性,决策者的态度和倾向是风险偏好的具体体现。文献[18]探究了风险态度对决策的影响关系,这对本文研究金融风险偏好有重要意义。本文在区间二型模糊环境中引入风险偏好因子来探究决策者的不同风险偏好态度对其在决策方面所造成的影响。因为不同决策者风险的态度是存在差异的,一部分人可能喜欢大得大失的刺激,另一部分人则可能更愿意“求稳”,根据决策者对风险偏好的不同,可以将其分为风险规避型、相对风险规避型、风险中性型、相对风险偏好型、和风险偏好型,所以根据决策者的风险态度的不同设置风险偏好函数。

定义9设θ(x)是一个风险偏好函数,则θ(x)可定义如下:

用θ(x)的不同取值反映决策者的风险态度。假设决策者在不同属性类型下的决策信息以区间二型模糊集的形式给出,区间二型模糊集的模糊熵即为它的不确定性风险,因此,本文基于上述的观点构造投资者风险偏好不确定度量如下:

(12)

该函数反映的是投资者在对风险有风险偏好态度的情况下的风险偏好得分。

5 最优线性规划模型

由对于一个区间二型模糊集而言,其排序值越大越好,同时风险偏好函数越小越好。基于此,本文构建不同风险偏好下的权重模型。

情况1当属性权重完全未知时,构造以下线性规划模型:

为求解上述线性优化模型,可以使用等权求和法将上述多目标优化模型转化为以下单目标优化模型:

构造拉格朗日函数模型:

其中,λ为参数。求L(wj,λ)对wj和λ的一阶偏导数,并令它们等于0,即:

求解上述方程组可以得到最优权重w=(w1,w2,…,wm)。

然后对其进行归一化处理得到:

最后得到最优属性权重:

情况2当属性权重是部分已知时,构造以下线性模型:

其中,Φ表示部分已知的属性权重信息。

w∈Φ= {0.1≤w1≤0.2,0.1≤w1≤0.3,0.3≤

w1≤0.4,0.1≤w1≤0.3}

同理,可以将其转化为单目标优化模型,计算权重。

6 决策步骤

基于排序值、风险偏好函数和交叉熵的多属性决策方法步骤如下:

步骤1根据属性类型不同将原始矩阵A=(aij)n×m规范化为规范矩阵D=(dij)n×m,其中:

步骤2基于定义5计算规范化决策矩阵的排序值R=(rij)n×m。

步骤3基于定义8计算区间二型模糊交叉熵E=(eij)n×m。

步骤4根据风险偏好的不同,得到线性规划模型的不同最优权重。

步骤5将规范化矩阵D=(dij)n×m转化为得分矩阵S=(sij)n×m。

步骤6利用Score=SωT计算各方案的综合得分,并按得分多少从大到小排序,最大者即为最优方案。

7 实例分析

某风险投资公司计划从如下5个项目中选择一个进行投资:移动通信(x1),新能源技术(x2),生物医药(x3),低碳减排技术(x4),智能交通(x5),公司聘请专家对这5个项目分别从效益率(a1)、技术成熟度(a2)、发展前景(a3)和潜在风险(a4)等方面进行评估。

评估结果用语言进行标度,分为“非常低(VL)”“低(L)”“比较低(ML)”“中等(M)”“比较高(MH)”“高(H)”“非常高(VH)”,每个语言标度对应一个(梯形)区间二型模糊集,如表1所示,专家的评估结果如表2所示。

表1 语言标度及其对应的区间二型模糊集

表2 专家评估结果

下面基于本文介绍的新的排序值公式,风险偏好函数和交叉熵的多属性决策方法处理该公司的项目投资问题。

步骤1由于属性a1～a3属于效益性属性,而属性a4属于成本型属性,因此对原始决策矩阵进行规范化得到规范化矩阵D=(dij)n×m。

步骤2计算规范化决策矩阵的排序值:

(22)

步骤3基于定义8计算区间二型模糊交熵:

(23)

步骤4根据风险偏好的不同,得到对应线性规划模型的最优权重。

1)假定属性权重完全未知时,引入2个参数统一量纲后的最优线性规划模型为:

2)假定属性权重部分已知时,引入2个参数统一量纲后的最优线性规划模型为:

基于式(24),图1和图2显示了在模型风险偏好θ(x)变化的条件下属性权重的变化情况。

图1 属性权重完全未知时不同风险偏好下w1、w2的变化情况

图2 属性权重完全未知时不同风险偏好下w3、w4的变化情况

当属性权重部分已知时,同样对模型进行统一量纲处理,属性权重在不同风险偏好下的变化情况如图3和图4所示。

图3 属性权重部分已知时不同风险偏好下w1、w2的变化情况

图4 属性权重部分已知时不同风险偏好下w3、w4的变化情况

随着风险偏好值从0到1的变化,当权重完全未知时(情况1),w1、w2、w4逐渐减小,w3逐渐增大;当属性权重部分已知时(情况2),w1逐渐减小,w2、w4逐渐增大。由此,可以说明风险偏好对属性权重有影响。

步骤5将规范化矩阵D=(dij)n×m转化为得分矩阵S=(sij)n×m。

根据式(21)分别计算规范化矩阵D=(dij)n×m的上下隶属度函数的得分矩阵SU和SL如下:

(26)

(27)

(28)

步骤6利用Score=SωT计算各方案的综合得分(属性权重完全未知时),并按得分多少从大到小排序,如表3所示,最大者即为最优方案。

表3 属性权重完全未知时不同风险偏好下的方案排序

利用公式Score=SωT计算各方案的综合得分(属性权重部分已知时),并按得分多少从大到小排序,如表4所示,最大者即为最优方案。

表4 属性权重部分已知时不同风险偏好下的方案排序

构建模型后,通过偏好函数取值的不同得到对应的最优权重,并利用得分公式得到最终的得分值并排序。根据上述结果,可以发现整体排名结果不变,符合实际,这意味着该模型是稳定可行的。同时,根据文中模型和得出的数据可以知道决策者风险偏好的不同对属性权重也有相应的影响,且随着风险偏好的变化,属性权重是有趋势地变化的,这说明风险偏好对属性权重是有影响的。

8 方法比较

本文方法相对于文献[6,12-13]等针对区间二型模糊集的多属性决策方法有以下优势:

1)针对文献[7]提出的区间二型模糊排序值公式存在当二型模糊集中只要有元素为0排序值就为0的问题,本文改进并提出了一种新的区间二型模糊排序值公式。新的排序值公式相比文献[6]重点突出了元素的大小对区间二型模糊排序值大小的影响,使得排序值公式更加稳定可靠。

2)度量区间二型模糊集的模糊性、犹豫性和区间性,并利用区间二型模糊集的模糊性、犹豫性和区间性去度量模糊集之间不确定信息的识别程度作为区间二型模糊集的不确定熵,既考虑了区间二型模糊集自身的不确定性,同时又突出了模糊集之间的相互影响对决策的影响。

3)针对在实际的区间二型模糊多属性决策中,人们往往只考虑了决策的客观因素而忽略决策的主观因素,即决策者的风险偏好这一问题,本文提出了风险偏好因子重点探究决策者风险偏好的不同对属性权重(属性重要程度的定量分配,即决策者对各属性的重视程度)的影响。根据投资体对风险偏好的不同,将其分为风险规避性、风险中立型和风险偏好型。同时将区间二型模糊的不确定交叉熵作为评价指标的不确定性,利用交叉熵和风险偏好因子设置风险偏好函数,并根据决策者的风险态度的不同,得到对应的最优权重,然后以表格以及图表的形式更加直观地观察到风险态度对决策的影响,这一决策方法对于金融投资来说具有非常重要的实际意义。

9 结束语

在多属性决策过程中,除了要考虑决策的客观因素外,更要考虑到决策者的主观因素,即决策者的风险偏好。每位决策者在进行决策时都有自己的风险偏好,且决策者的风险偏好往往可能会影响到最终的决策结果。为此,本文提出了风险偏好因子、新的排序值公式以及区间二型模糊交叉熵公式,基于此构造排序值、风险偏好因子和交叉熵最优线性规划模型。下一步将对区间二型梯形模糊的不确定熵和交叉熵在投资、供应商选择以及航运等问题中的应用进行研究。