整数标准分解式的数论函数及其均值的渐近公式

摘要：本文给出了整数标准分解式的数论函数β（n，p）和它的均值∑p≤nβ（n，p）的定义，推出均值∑p≤nβ（n，p）的渐近公式公式。

关键词：数论函数；均值；渐近公式

一、 引言与主要结论

在[1]的第68个问题中，p为一个素数，给一数列k=ep（n），k为p在n的标准分解式中的指数。本文给出n的标准分解式中的数论函数β（n，p）的定义，推出并证明了均值∑p≤nβ（n，p）的渐近公式。本文中[x]表示不超过x的最大整数，a（m，p）表示m在p进制表示中数字之和。用π（x）表示不超过x所有素数的个数，并且

π（x）=xlnx+a2xln2x+…+akxlnkx+O（xlnk+1x）；

定义1设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，如果n=a1p+a2p2+…+asps其中

1≤ai≤p-1，i=1，2，…，s，称a（n，p）为n在p进制中数字之和函数，即a（n，p）=∑si=1ai。

定义2设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，n=pk11pk22…pktt（pi为素数），称β（n，p）为p在n的标准分解式中的指数函数，它的值为p在n的标准分解式中的指数；B（n，P）=∑p≤nβ（n，p）为函数β（n，p）的均值。

定理设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，则

∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+c+c1lnn+c2ln2n+c3ln3n+…+cklnkn+O（1lnk+1n）

其中k是任意的正整数，ci（i=1，2，…）是一些可计算的常数。

二、 相关引理及定理的证明

引理1设n为任意正整数，p为素数，α（n，p）表示p在n！标准分解式中的指数，则

α（n，p）≡∑

SymboleB@ i=1npi=1p-1（n-a（n，p）），（1）

引理2在n的标准分解式中质因数p（p≥2）的指数

β（n，p）≡∑

SymboleB@ i=1npi-n-1pi=1p-1（1+a（n-1，p）-a（n，p）），（2）

引理3設n为任意正整数，p为素数，则a（n，p）≤p-1lnplnn。（3）

下面进行定理的证明

证明：因为∑p≤nβ（n，p）=∑p≤nβ（n，p）+∑n

等式右边第一部分由引理2可知

∑p≤nβ（n，p）

=∑p≤n1p-1（1+a（n-1，p）-a（n，p））

=∫n321xdπ（x）+A+O（1n）+∑p≤na（n-1，p）-a（n，p）p-1。（4）

又因为

∫n321xdπ（x）=lnlnn+B+a31lnn+a32ln2n+…+a3klnkn+O（1lnk+1n）

由引理3得

∑p≤na（n，p）p-1≤∑p≤nlnnlnp=lnn∑p≤n1lnp≤lnn∑p≤n1≤nlnn，

于是，∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+a+a31lnn+a32ln2n+…+a3klnkn+O（1lnk+1n）

所以，∑p≤nβ（n，p）=nlnn+lnlnn+c+c1lnn+c2ln2n+c3ln3n+…+cklnkn+O（1lnk+1n）。

证毕。

参考文献：

[1]F.Smarandache.only problem，not solutions.Xiquan Publ.House.Chicage，1993，54—55.

作者简介：

车雨红，陕西省渭南市，渭南师范学院数理学院。