浅析数形结合思想在2017全国高考数学Ⅲ卷中的应用

摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，而数形结合是数学思想中的一种最基本、也是最常见的方法，其重要性不言而喻。将数形结合思想应用在中学术学解题中不仅使一些难以理解的问题大大简化、清楚易懂，而且能使问题的研究更为深入、全面。

关键词：数学思想；数形结合；试卷应用

一、 数形结合在中学数学中的应用

（一） “以形助数”

1. 在解析几何中的应用

【例1】（2017全国Ⅲ卷理数10）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为C，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）

A. 63

B. 33

C. 23

D. 13

解：根据题意，画出图像可知，以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2，由直线与圆相切的几何特征知：圆心到直线的距离等于半径长，列出关于a，b的式子为：2aba2+b2=a，得a2=3b2=3（a2-c2），3c2=2a2，所以3e2=2，63，故答案选A。

2. 在规划問题中的应用

解决规划问题最简单的方法就是在平面直角坐标系中做出其函数图像，画出满足约束条件的可行域。

【例2】（2017全国Ⅲ卷理数13）若x，y满足约束条件x-y≥0

x+y-2≤0

y≥0，则z=3x-4y的最小值为（）

分析：根据题意作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，考虑z=3x-4y，将它变形为y=34x-34z，这是斜率为34、随z变化的一组平行线，-34z是直线在y轴上的截距，当-34z取最大值时，z的值最小；同时直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z=3x-4y取得最小值；由图可见，当直线z=3x-4y经过可行域上的点M时，截距-34z最大。即z最小。

解方程组：x+y-2=0x-y=0，得M的坐标为x=1，y=1，所以Zmin=3-4=-1。

（二） “以数助形”

中学数学中的几何涉及平面几何和立体几何，解决几何问题时常常需要通过分析建立图形有关的代数关系来探讨图形的几何性质。利用坐标系解答几何问题，化几何条件为代数关系式，将几何关系转化为解答代数问题，使抽象的图形具体化，复杂的问题简单化。我们只需要利用坐标系表示出相应点的坐标，建立对应坐标间代数关系式求解即可解决。

【例3】（2017全国Ⅲ卷理数12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（）

A. 3B. 22

C. 5D. 2

分析：本题目是以矩形为背景去解决代数问题，故建立平面直角坐标系将λ，μ表示出来，但本题的关键在于P点的坐标表示，若仅用x，y将坐标设出来，最后在计算λ+μ时会显得繁琐，又P点在圆C上，故可采用参数方程的思想将P点的坐标用三角函数表示出来，从而将题目转换为求三角函数最值的问题，具体步骤如下：建立如图所示的平面直角坐标系，则AB=（0，-1），AD=（2，0），由等面积法可知，圆的半径为25，故圆的方程为x2+y2=45；故可设P（25cosθ，25sinθ）

∵AP=λAB+μAD∴μ=15cosθ+1，λ=-25sinθ+1

∴μ+λ=15cosθ-25sinθ+2=cos（θ+φ）+2≤3，故答案选A。

二、 总结

数形结合是重要的数学思想之一，在中学学习中有着广泛的应用。本文主要介绍了数形结合思想及其在2017年全国高考数学Ⅲ卷中的应用，数学思想如此的重要，作为一名老师，重要的不是如何解题，而是把这种思想传达给学生，教会他们熟练第应用其解题。数学思想是数学的灵魂，我们应该善于使用它，在学习中一会数学的奥妙。

参考文献：

[1]孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[D].辽宁师范大学，2012.

[2]牛嘉轩.数形结合方法在中学函数学习中的应用[J].高考（综合版），2016（06）：233-234.

作者简介：

罗钦，四川省南充市，西华师范大学。