关于一类复合函数值域问题的探讨

摘要：在众多求函数的值域问题中，有一类函数形如y=logm（ax2+bx+c），这类函数若从复合函数的角度来看，则可看成是由对数函数y=logmu和二次函数u=ax2+bx+c复合而成。对于这类函数，常见考察的题型有求函数的定义域、函数的值域、函数的单调区间等，本文具体探讨了四种情况。

关键词：复合函数；值域；二次函数；对数函数

一、 引言

在众多求函数的值域问题中，有一类函数形如y=logm（ax2+bx+c），这类函数若从复合函数的角度来看，则可看成是由对数函数y=logmu和二次函数u=ax2+bx+c复合而成。对于这类函数，常见考察的题型有求函数的定义域、函数的值域、函数的单调区间等，其中函数的值域问题对于学生来说掌握起来有些困难，其实解决这类问题的关键是理解二次函数u=ax2+bx+c的值域就是对数函数y=logmu的定义域，先由ax2+bx+c>0求u=ax2+bx+c的定义域D（即解一元二次不等式），再求u=ax2+bx+c在定义域D下的值域M（即求二次函数在限定定义域下的值域问题），最后求y=logmu在定义域M下的值域（即求对数函数在限定定义域下的值域问题）。接下来本文主要从以下几种情况来具体探讨这类函数的值域问题。

二、 情况一：a>0，b2-4ac<0

（一） 实例

例1求y=log2（x2-4x+6）的值域

解：y=log2u，u=x2-4x+6

对于u=x2-4x+6由x2-4x+6>0解得定义域D=R，在此定义域下的值域M=[2，+∞），

对于y=log2u，定义域D'=[2，+∞），在此定义域下的值域M'=[1，+∞）

举一反三：求y=log0.5（x2-4x+6）的值域

解：y=log0.5u，u=x2-4x+6

对于u=x2-4x+6由x2-4x+6>0解得定义域D=R，在此定义域下的值域M=[2，+∞），

对于y=log0.5u，定义域D'=[2，+∞），在此定义域下的值域M'=（-∞，-1]

（二） 小结

对于y=logm（ax2+bx+c），当a>0，b2-4ac<0时，ax2+bx+c>0恒成立，对于u=ax2+bx+c，定义域D=R，值域M=4ac-b24a，+

SymboleB@ ），对于y=logmu，定义域D=4ac-b24a，+

SymboleB@ ，值域：当m>1时，M=

logm（4ac-b24a），+

SymboleB@ ），当0

SymboleB@ ，logm（4ac-b24a）

三、 情况二：a>0，b2-4ac≥0

（一） 实例

例2求y=log2（x2-2x-3）的值域

解：y=log2u，u=x2-2x-3

对于u=x2-2x-3由x2-2x-3>0解得定义域D=（-∞，-1）∪（3，+∞），在此定义域下的值域M=（0，+∞），

对于y=log2u，定义域D'=（0，+∞），在此定义域下的值域M'=R

举一反三：求y=log0.5（x2-2x+1）的值域

解：y=log0.5u，u=x2-2x+1

对于u=x2-2x+1由x2-2x+1>0解得定义域D=（-∞，1）∪（1，+∞），在此定义域下的值域M=（0，+∞），

对于y=log0.5u，定义域D'=（0，+∞），在此定义域下的值域M'=R

（二） 小结

对于y=logm（ax2+bx+c），当a>0，b2-4ac≥0时，ax2+bx+c>0，对于u=ax2+bx+c，值域M=（0，+∞），对于y=logmu，定义域D=（0，+∞），值域：M'=R

四、 情况三：a<0，b2-4ac>0

（一） 实例

例3求y=log2（-x2+2x+3）的值域

解：y=log2u，u=-x2+2x+3

对于u=-x2+2x+3由-x2+2x+3>0解得定义域D=（-1，3），在此定义域下的值域M=（0，4]，

对于y=log2u，定义域D'=（0，4]，在此定义域下的值域M'=（-∞，2]

举一反三：求y=log0.5（-x2+2x+3）的值域

解：y=log0.5u，u=-x2+2x+3

对于u=-x2+2x+3由-x2+2x+3>0解得定义域D=（-1，3），在此定义域下的值域M=（0，4]，

对于y=log0.5u，定义域D'=（0，4]，在此定义域下的值域M'=[-2，+∞）

（二） 小结

对于y=logm（ax2+bx+c），当a<0，b2-4ac>0时，ax2+bx+c>0，对于u=ax2+bx+c，值域M=0，4ac-b24a，对于y=logmu，定义域D=0，4ac-b24a，值域：当m>1时，M'=-

SymboleB@ ，logm4ac-b24a，当0

SymboleB@

五、 情況四：a<0，b2-4ac≤0

对于y=logm（ax2+bx+c），当a<0，b2-4ac≤0时，ax2+bx+c>0的解集为空，因此这种情况不用讨论。

参考文献：

[1]武增明.用a·b≤|a|·|b|解两类无理函数最值问题[J].数学教学，2006年11期.

[2]胡云浩.再谈两类无理函数的最值问题[J].数学教学，2007年05期.

[3]田彦武.解两类无理函数最值问题的新视角[J].数学教学，2007年06期.

作者简介：

肖天，江苏省南京市，金陵高等职业技术学校。