浅谈闭区间上连续函数的性质

王云巍

摘 要：本文主要了解了闭区间上连续函数的一些性质，包括最值的可达性和有界性，介值性与根的存在性，并对这些性质在开区间上做相应推广。

关键词：闭区间；开区间；连续函数；最值的可达性；有界性；介值性；根的存在性

定义1[1]若函数f（x）在开区间（a，b）上连续，在a点右连续，在b点左连续，我们就称函数f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数.

连续函数所具有的局部有界性、局部保号性等性质，闭区间上的连续函数自然都具有，但它既然有闭区间这个特殊性，又具有哪些自己独特的性质呢？下面我们就来讨论闭区间上的连续函数所具有的几个基本性质及其在开区间上的简单推广，以提高大家对这些性质的认识，扩大应用范围。

一、最值的可达性和有界性

定理1 （有界性定理） 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连續，则f（x）在闭区间[a，b]上有界.

定理2 （最大、最小值定理） 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定有最大值与最小值.

连续函数在闭区间上的有界性和最值可达性在很多问题的证明中都起到一个切入点的作用，比如积分第一中值定理和罗尔中值定理的证明。这两个性质固然好，但两个硬性条件缺一不可，一个是闭区间，一个是连续函数。我们自然会考虑，如果条件有所减弱，这两个性质是否成立呢？下面我们来看开区间上的连续函数在什么条件下也具备这两个性质。

推论1 函数f（x）在开区间（a，b）上连续，且在a点存在右极限，在b点存在左极限，则f（x）在（a，b）上有界.

证明：设f（x）在a点的右……