2017年高考函数零点试题分类解析

刘金勇　刘成龙

函数零点是函数的重要组成部分，是高考考查的热点内容.函数零点问题主要涉及函数、导数、不等式等知识，对学生数学抽象、逻辑推理能力要求较高.该类试题往往还蕴含丰富的数学思想.比如：数形结合思想、化归思想等.同时，函数零点、方程的根与函数图像的交点问题是数学上的“孪生兄弟”.函数零点的表征形式除函数外，还有方程和图像交点的视角.因此，函数零点的高考命题视角较宽.本文拟对2017年高考中的函数零点试题进行分类解析.

类型一：求函数零点个数

【例1】 （2017年江苏卷理14）设[f（x）]是定义在[R]上且周期为1的函数，在区间[[0 ，1）]上[f（x）=x2，x∈Dx，x?D]，其中集合[D=x|x=n-1n，n∈N*]，则方程[f（x）-lgx=0]的解的个数是 .

解： 因在区间[[0，1）]上[f（x）=x2，x∈Dx，x?D]，第一段函数上的点的横、纵坐标均为有理数，又[f（x）]是定义在[R]上且周期为1的函数，所以在区间[1，2]上，[f（x）=（x-1）2，x∈Dx-1，x?D]，此时，[f（x）]的图像与[y=lgx]有且只有一个交点；同理，在区间[2，3]、[3，4]、[4，5]、[5，6]、[6，7]、[7，8]、[8，9]上，[f（x）]的图像与[y=lgx]有且只有各一个交点，共8个，如图1所示.在区间[9，+∞]上，[f（x）]的图像与[y=lgx]无交点，故[f（x）]的图像与[y=lgx]有8个交点，即方程[f（x）-lgx=0]的解的个数是8.

【评注】2017年高考直接求函数零点个数的试题没有，而是以方程解的个数方式呈现.解答本例的关键是在理解题意的基础上，画出两个函数的大致图像.本例考查了学生绘图、识图、用图的能力.

类型二： 已知函数零点个数求参数范围（或值）

【例2】 （2017年全国卷Ⅲ理11）已知函数[f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）]有唯一零点，则[a]的值为（ ）.

A. [-12] B. [13] C. [12] D. [1]

解： 因为[f（2-x）=f（x）]，所以[f（x）]的对称轴为[x=1].又因为[f（x）]有唯一零点，所以零点只能为[x=1]，即[f（1）=-1+2a=0]，解得[a=12].

【评注】本例的解答方法很多.比如：求导法、放缩法等.上述解法抓住“[f（x）]关于[x=1]对称，且零点唯一”这一要点，减少了烦琐的运算，实现了真正意义上的“多想少算”.

【例3】 （2017年山东卷理10）已知当[x∈[0，1]]时，函数[y=（mx-1）2]的图像与[y=x+m]的图像有且只有一个交点，则正实数[m]的取值范围是（ ）.

A. [（0，1]?[23，+∞）] B. [（0，1]?[3，+∞）]

C.[ （0，2]?[23，+∞）] D.[ 0，2?3，+∞]

解：[y=（mx-1）2=][m2（x-1m）2]的图像可以看成[y=x2]图像纵坐标不变，横坐标向右平移[1m]个单位；横坐标不变，纵坐标变为[m2]倍.[y=x+m]的图像可以看成[y=x]向上平移[m]个单位.

[①]若[0

[②]若[m>1]，则[y=（mx-1）2]和[y=x+m]的大致图像如图3所示，为使[y=（mx-1）2]和[y=x+m]的图像在[x∈[0，1]]上有且只有一个交点，需要[（m-1）2≥1+m]，即[m2-3m≥0]，解得[m≤0]或[m≥3]，所以[m≥3].

綜上所述，[m∈][（0，1]?[3，+∞）].

【评注】解答本例的关键是对分类标准中临界位置[m=1]的识别.事实上，[x=0]时，有[y=1]和[y=m]，可以看出[m=1]时，两函数刚好有交点.

类型三： 已知函数零点分布证明不等式

【例4】 （2017年天津卷理20）设[a∈Z]，已知定义在[R]上的函数[f（x）=2x4+3x3-3x2][-6x+a]，在区间[1，2]内有一个零点[x0]，[g（x）]为[f（x）]的导函数.

（Ⅰ）求[g（x）]的单调区间；

（Ⅱ）设[m∈1，x0?x0，2]，函数[h（x）=g（x）（m-x0）-f（m）].求证：[h（m）?h（x0）<0]；

（Ⅲ）略.

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）由[h（x）=g（x）（m-x0）-f（m）]，得[h（m）=g（m）（m-x0）-f（m）]，

[h（x0）=g（x0）（m-x0）-f（m）].

令[H1（x）=g（x）（x-x0）-f（x）]，

[H′1（x）=g′（x）（x-x0）]， 由（Ⅰ）知，当[x∈1 ，2]时， [g′（x）>0].故当[x∈1，x0]时，[H′1（x）<0]，[H1（x）]单调递减；当[x∈x0，2]时，[H′1（x）>0]，[H1（x）]单调递增.

因此，当[x∈1， x0 ? x0， 2] 时，[ H1（x）>H1（x0）=-f（x0）=0]，[H1（m）>0]，即[h（m）>0].

令[H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x）]，则[H′2（x）=g（x0）-g（x）]，由（Ⅰ）知，[g（x）]在[1，2]上单调递增，故当[x∈1，x0]时，[H′2（x）>0]，[H2（x）]单调递增；当[x∈x0，2]时，[H′2（x）<0]，[H2（x）]单调递减.

因此，当[x∈1，x0?x0，2]时，[H2（x）

综上，[h（m）?h（x0）<0]得证.

[评注]本题主要利用导数研究函数的性质，区分度明显.本例中函数零点的功能为[f（x0）=0].

类型四： 函数零点的综合问题

【例5】 （2017年江苏卷理20）已知函数[f（x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）]有极值，且导函数[f ′（x）]的极值点是[f（x）]的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（Ⅰ）求[b]关于[a]的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）证明：[b2>3a]；

（Ⅲ）若[f（x）]，[f ′（x）]这两个函数的所有极值之和不小于[-72]，求[a]的取值范围.

解：（Ⅰ）由[f（x）=x3+ax2+bx+1]，得[f ′（x）=3x2+2ax+b=3（x+a3）2+b-a23].

當[x=-a3]时，[f ′（x）]有极小值[b-a23].因为[f ′（x）]的极值点是[f（x）]的零点.所以[f（-a3）=-a327+a39-ab3+1=0]，又[a>0]，故[b=2a29+3a].因为[f（x）]有极值，故[f ′（x）=0]有实根，从而[b-a23=19a（27-a3）≤0]，即[a≥3].

当[a=3]时，[f ′（x）>0（x≠-1）]，故[f（x）]在[R]上是增函数，[f（x）]没有极值；

当[a>3]时，[f ′（x）=0]有两个相异的实根[x1=-a-a2-3b3]，[x2=-a+a2-3b3].

列表如下

[[x] [（-∞，x1）] [x1] [（x1，x2）] [x2] [（x2，+∞）] [f ′（x）] + 0 – 0 + [f（x）] 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ]

故[f（x）]的极值点是[x1，x2]，从而[a>3]，因此[b=2a29+3a]，定义域为[（3，+∞）].

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，[f（x）]的极值点是[x1，x2]，且[x1+x2=-23a]，[x21+x22=4a2-6b9].

从而[f（x1）+f（x2）=x31+ax21+bx1+1+x32+ax22+bx2+1=][x13（3x21+2ax1+b）+][x23（3x22+2ax2+b）+13a（x21+x22）+23b（x1+x2）+2][=4a3-6ab27-4ab9+2=0].

记[f（x）]，[f ′（x）]所有极值之和为[h（a）]，因为[f ′（x）]的极值为[b-a23=-19a2+3a]，所以[h（a）=-19a2+3a]，[a>3].因为[h′（a）=-29a-3a2<0]，于是[h（a）]在[（3，+∞）]上单调递减.

因为[h（6）=-72]，于是[h（a）≥h（6）]，故[a≤6].因此[a]的取值范围为[（3，6]].

【评注】本例主要考查利用导数研究函数的极值、零点等综合问题，考查学生综合运用数学思想方法分析、解决问题的能力以及逻辑推理能力.零点在本例中的功能为提供[f（-a3）=0]这一条件.

文中对2017年高考理科数学中函数零点试题的四种题型做出了分析，希望对读者有所帮助.