把握数学本质的高三复习课堂

周先华　原坤

新课标提出：要把握数学本质，启发思考，改进教学.下面以多面体的外接球相关计算问题为例说明把握球的本质来解题的过程并归纳、总结其解题的一般规律.

一、柱体的外接球问题

【例1】 （2017年全国II卷）长方体的长、宽和高分别为[3，2，1]，其顶点都在球[O]的球面上，则球O的表面积为 .

解析：定义法.长方体的对角线的交点[O] 为其外接球的球心.令其半径为[R]，所以[2R=32+22+12=14，S=4πR2=14π].

[点评]

（1）长方体的对角线交点就是其外接球球心.长、宽、高分别为[a、b、c]的长方体的外接球的半径为[R=a2+b2+c22].

（2）同理，棱长为[a]的正方体的外接球半径为[R=32a].

（3）长方体的上、下底面中心连线交点即为其外接球球心.

（4）一切直棱柱的外接球球心为上、下底面外接圆圆心连线之交点.

（5）若圆柱的上、下底面圆在同一个球面上，则此球的球心为其上、下底面圆心边线之交点.

二、圆锥与特殊的棱锥的外接球

【例2】 求棱长为[a]的正四面体的外接球的半径.

【解法一】定義法（利用球体的定义找球心）

如图1，设E为底面[△ADC]的中心，则外接球球心[O]必在直线BE上，令外接球半径为[R]，在[RT△ODE]中，[R2=（63a-R）2+（33a）2]，得[R=64a].

【解法二】构造法（或补形法）

如图2，在正方体中取其四个顶点，此正四面体的外接球即为正方体的外接球.其外接球半径为[R=32×22a=64a].

[点评]

（1）解法一是利用球的定义寻找其球心，是抓住了数学本质的方法.

（2）利用球的定义，类比上述方法可求圆锥的外接球（即其底面圆和顶点均在同一个球面上）的半径.

如图3，圆锥PS的高为[h]，底面半径为[r].令其外接球半径为[R]，则[R2=r2+（h-R）2]，得[R=r2+h22h].

（3）其他一切棱锥的外接球问题均可以用解法一.

（4）解法二是一种技巧性方法，把正四面体放入正方体中，则正四面体与正方体的外接球重合，化难为易.

（5）可以构造成长方体的常见模型有：

①从一个顶点出发的三条侧棱两两垂直的三棱锥构造如图4所示长方体.如图4.[PA，PB，PC]两两互相垂直，则三棱锥的外接球与长方体的外接球重合.

②三组对棱对应相等的三棱锥.如图5左图，PA=BC，PB=AC，PC=AB.将它放入右图长方体中，则此三棱锥的外接球与长方体的外接球重合.

③四个面都是直角三角形，但没有从一个顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥.如图6左图，[PB⊥]面[ABC]，[AC⊥BC].将其放在右图的长方体中，其外接球与长方体的外接球重合.

三、特殊多面体的外接球

【例3】 在四面体中[S-ABC]，[AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2]，二面角[S-AC-B]的余弦值是[-33]，则该四面体外接球的表面积是 .

解析：定义法.

如图7，取AC中点D，连接BD，SD，则[∠SDB]为二面角S-AC-B的平面角，取SB的中点[O]，则点[O]即为此四面体的外接球的球心，则半径为[R=12SB=62]，所以其表面积为[S=4πR2=6π].

[点评]本题利用定义寻找到其外接球的球心，抓住了其概念的本质.

四、一般多面体的外接球

【例4】 已知三棱锥[P-ABC]中，侧面[PAC⊥]底面[ABC]，[∠BAC=90°， AB=AC=4， PA=10， PC=2]，则三棱锥[P-ABC]外接球的表面积为 .

解析：

【解法一】定义法（把与底面垂直之侧棱BA竖直放置）

如图8，令平面PAC的外心为G，作直线[OG⊥平面PAC]， 取线段AB的中点D，取[GO=AD]，则点O为三棱锥的外接球的球心.令外接球的半径为[R]，可求得[R2=9]，其表面积为[S=36π].

【解法二】定义法（图形任意放置）

如图9，取BC中点G，过点G作[OG⊥平面ABC]，设三角形PAC之外心为D，取AC的中点H，连接DH，取[OG=DH]，则点O为三棱锥P-ABC的外接球的球心.下同解法一求解.

[点评]

（1）这两种方法均为直接利用定义先找外接球的球心，体现了对球的概念本质把握.

（2）两种解法中均利用了结论：过三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线上任意一点到三角形的三个顶点等距.

（3）利用上述结论，可以按下面的步骤确定三棱锥的外接球的球心，如图10，E、F分别为[△PAC，△ABC]的外心，取AC中点M，连接EM，FM.作[OF⊥平面ABC]，[EO⊥ME]，交直线FO于点O，则点O为三棱锥的外接球的球心.

（4）针对有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，可以利用方法一的解题步骤确定其外接球的球心并求其半径.

如图11，若三棱锥P-ABC 中，[PA⊥平面ABC].

第一步，过底面三角形ABC的外接圆圆心G作直线[OG⊥平面ABC]；

第二步，取PA的中点D，取[OG=DA]，则点O为三棱锥的外接球球心；

第三步，在[RT△OAG]中求外接球半径[R=OA=GA2+OG2].

纵观近年高考试题中的外接球问题，无一不是以上4个例题中所体现的四种类型，下面略举几例.

1.（2017年新课标3文理）如图12，已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.

A.[π] B.[3π4] C.[π2] D.[π4]

解析：[r2=1-14=34]，則其体积为[V=πr2h=3π4].故选B.

[点评]与例1同类型.圆柱的外接球球心为上下底面圆的圆心连线之中点.

2.（2017年全国新课标I）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________.

解析：由于SC是三棱锥S-ABC的外接球O的直径， 设SC之中点为点E，则点E即为球心[O].设[OA=r]，则[VA-SBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=13r3]，[13r3=9?r=3]，所以球的表面积为[4πr2=36π].

[点评]与例3同类型.直接利用定义法找球心.

3.（2014年大纲版理科）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）.

A.[81π4] B.[16π] C.[9π] D.[27π4]

解析：

如图13，由正四棱锥的对称性，其外接球球心必在高PG上，令球心为O，球半径为[R]，则有[R2=（4-R）2+2，R=94，]则其表面积为[S=4πR2=81π4].选A.

[点评]与例2同类型.正四棱锥的外接球球心必在其高上.利用勾股定理列方程求其半径.

4.（2017年成都市高中毕业班第三次诊断性检测题）如图14，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）.

A. [27π] B. [48π] C. [64π] D. [81π]

解析：定义法.如图15，此三棱锥侧棱PA与底面垂直，底面是边长为6的正三角形.与类型4同法，可得外接球半径为[R=OA=4]，表面积为[S=4πR2=64π].选C.

[点评]与例4同类型.由球的定义找球心后再计算其半径.

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（责任编辑 黄桂坚）