概率统计建模问题探究

欧阳群壮

《普通高中数学课程标准修订》提出，我国中学生在数学学习中，应培养好六大核心素养，数学建模就是六大数学核心素养之一.高考相当重视数学建模思想的考查，并以日常的生产、生活、经济、社会热点、我国传统文化等为背景设计试题.从简单的概率统计问题到综合的概率统计问题，试题非常注重理论联系生活实际，考核学生的数学建模等数学核心素养，考查的数学模型有古典概率、几何概型、线性回归模型等.下面以部分高考数学题为载体进行探究.

1. 古典概率.它是最基本的概率模型，主要考查古典概型的特征及概率计算公式.

【例1】 （2014年全国新课标Ⅰ卷）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）.

A. [18] B. [38] C. [58] D. [78]

解析：由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为[P=24-1-124=78] ，故选D.

[点评]试题考查了概率的基本知识和方法，教师应该引导考生关注生活中的数学问题，增强数学应用意识.

2.几何概型.主要考查几何概型和几何概率的计算方法.

【例2】 （2017年全国新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.

A .[14] B .[π8] C .[12] D . [π4]

解析：在正方形内随机取一点，试验的全部结果构成了正方形ABCD围成的区域.设A表示事件“在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分”，那么事件A中的试验结果构成了正方形ABCD中的阴影部分.由题意，这是一个几何概型的问题.设正方形的边长为[a]，则正方形ABCD的面积[a2]，阴影部分的面积为[π8a2]，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为[P（A）=π8a2a2=π8]. 故选B.

[点评]本题以我国古代的太极图为情境设计了一个简单的概率问题，试题考查几何概型及几何概率的计算，同时引导考生热爱我国传统文化，学习传统文化，引领考生关注生活中的数学问题.

3. 二项分布.对二项分布基本知识的掌握、理解及应用程度进行考查.

【例3】 （2017年全国新课标卷）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= .

解析：因为是从一个总体中有放回地重复抽样，X就是独立重复试验中一个事件发生的次数，故服从二项分布. 因为[n=100，p=0.02]，故[DX=100]×0.02×（1-0.02）= 1.96.

[点评]本题以产品抽样问题为载体，设计了一个求随机變量X的方差问题.要求考生根据二项分布知识，判别X服从二项分布，利用二项分布的数字特征求解.背景符合社会实际，有现实意义，体现了概率统计知识在解决实际问题中的应用.

4. 互斥事件、条件概率、分布列等模型.侧重考查应用其概念及计算方法解决实际问题的能力.

【例4】 （2016年全国新课标Ⅰ卷）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

所以续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.

[点评]试题考查互斥事件、条件概率、分布列等模型，通过概率、数学期望的计算考查学生的运算能力，通过随机变量的分布列考查学生的数据处理能力，利用贴近生活的实际问题考查学生分析问题、解决问题的能力和数学建模方法.

5. 线性回归模型.它是一种重要的统计模型，在生产实践中有着广泛的应用.

【例5】 （2015年全国新课标卷）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（已知b=0.5）

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

解析：（Ⅰ）由所给数据计算得：[t][=17（1+2+3+4+5+6+7）=4]，

[y]= [17（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3]，

[i=17（ti-t）2=9+4+1+0+1+4+9=28，]

[i=17（ti-t）（yi-y）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，]

[b]= [i=17（ti-t）（yi-y）i=17（ti-t）2=1428=0.5，] [a]= [y]- [bt] =

4.3[-]0.5×4= 2.3，所求回归方程为 [y]= [0.5t+2.3] .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， [b]=0.5 >0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 将2015年的年份代号[t=9]代入（Ⅰ）中的回归方程，得[y]=0.5×9 + 2.3=6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

[点评]本题以“农村居民家庭人均纯收入”这一重要社会经济指标为载体，要求考生根据若干年的数据建立线性回归方程并进行统计分析，考查了考生对线性回归方程理论的掌握和理解程度以及计算、数据处理的能力，并考查了利用所学知识解决实际问题的能力.该题贴近生活，源于实际，要求考生理论联系生活实际，体现了课程标准对中学数学课程内容改革的主旨精神.

（责任编辑 黄桂坚）