不等式证明里的运算技巧*

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(咸阳师范学院课程研究中心，陕西 咸阳 712000)

不等式是中学数学的重要内容，不等式的性质是不等式的核心知识，诸如同向不等式相加、相乘的性质等.笔者思考的问题是：异向不等式相加、相乘与同向不等式相减、相除，可以获得怎样的不等式呢？本文通过实际例子探究这个问题.

1 两个不等式相加

两个同向不等式可以叠加，产生第3个不等式.而两个异向不等式的两边是不可以进行相加推理的，但有时两个异向不等式的两边相加，选择一个不等号的方向，可能产生一个新颖的正确的不等式，这是一件十分有趣的事情，它可以帮助我们去探究、发现一些不等式的加强.

例1设a,b>0，求证：

证明待证不等式

⟺

⟺

⟺

只要证明

⟺

⟺

⟺

得证.

说明十分有趣的是：两个异向的不等式的两边分别相加，选择一个不等号的方向，有时可以获得一个正确的不等式，有时获得的不等式是错误的，这就需要读者深入探究、举反例、修改和论证.

我们知道：若a,b,c>0，则有常见不等式

将这两个异向不等式相加，得到：若a,b,c>0，则：

这就说明，一些错误的做法里蕴含着正确的成分，需要人们去关注、去挖掘.又如：已知a,b,c是正实数，求证：

2 两个不等式相减

对于两个同向的不等式，将不等式的两边分别相减，获得的不等式是否正确需要论证.若是正确的，则获得了一个十分有用的局部不等式，这也为一些不等式的证明提供了一种有效的可能通道.

探究由待证不等式

得

将这两个同向不等式相减，得

(1)

下面证明不等……