在解决问题教学中根植模型思想

曾国山

（福建省南靖县实验小学，福建 南靖）

一、在活动中体验模型思想

杜威指出，教学的基本原则是“做中学”。他提出：以活动教学代替课堂讲授，以儿童亲身经历代替书本知识，以学生的主动活动代替教师的主导。因此，课堂教学中要真正落实数学教学就是数学活动的教学。在《分数除法》例7“解决问题”的教学中，通过创设不同的问题情境，引导学生在提出问题、发现问题、分析问题、解决问题过程中，采用说一说、想一想、猜一猜、算一算、比一比等活动，让学生经历数学学习的全过程，真真切切地在具体的学习活动中体验模型思想。

二、在探索中感悟模型思想

（一）创设情境，迁移模型

师：同学们，为了方便大家出行，施工队正在修一条720米的道路。（课件出示）甲队单独修12天能完成，乙队单独修18天能完成。让学生说一说从中知道哪些数学信息？

通过创设有效的具体情境，让学生找出已知条件，说出工作总量和工作时间这两种量，帮助学生激发已有的认知，再引导学生进一步找出隐含的条件，即工作效率。从而回顾工作总量、工作时间和工作效率三者之间的数量关系：工作时间×工作效率=工作总量、工作总量÷工作效率=工作时间、工作总量÷工作时间=工作效率，促进学习的正向迁移，初步感知三种数量之间关系的数学模型，为学习新知做好铺垫。

（二）猜想验证，迁移模型

1.猜想

课件出示：修一条720米的道路，甲队单独修12天完成，乙队单独修18天完成，如果两队合修，多少天能完成？

（1）理解：“合修”是什么意思？

（2）猜想：猜一猜两个队一起修路，大约几天能修完？（学生猜测并说一说理由。）

（3）验证：学生独立完成。

（4）汇报：720÷（720÷12+720÷18）=7.2（天），并让学生说说每一步表示的意义。

教师先引导学生理解题意，通过学生交流，让学生知道“合修”就是要求出甲乙两队的工效之和；再进行猜想“几天能完成”，在猜测中预测结果，理解结果的合理性，提高学生参与学习的热情。学生通过计算加以验证，在独立计算中，运用已有“工作总量÷工作效率=工作时间”的数学模型解决带有具体工作总量的实际问题。

2.对比

课件出示例题7：修一条道路，一队单独修12天完成，二队单独修要18天完成。如果两队合修，多少天能修完？

（1）观察：从以上条件，我们可以获得什么信息？

（2）对比：课件同时出示情境问题和例7，引导学生进行对比，发现道路总长（工作总量）未知。

（3）思考：①要知道合修的时间，需要知道什么？②现在道路总长未知，该怎么办？

（4）假设：（预设36米、180米、360米等。引导学生考虑采用12和18的公倍数会便于计算）。

学生通过观察、讨论，知道要求合修的时间，就必须知道工作总量和工作效率；再引导学生进行对比，发现道路全长未知，进一步引导学生思考：该怎么办？运用知识迁移，得出用假设法把抽象的问题具体化，如果道路总长是已知的，这个问题就转化成以前学过的旧知识了，使得复杂的数量关系简单化。

3.验证，辨析各种解法

（1）尝试：选择其中一个数据，解决问题。

（2）汇报：指名说说自己的解决方案并板书。教师再次引导几位学生说出假设的具体数量，然后马上说出答案，并提问：为什么老师能根据你们的不同假设这么快地说出答案呢？

（3）观察：引导学生仔细观察，发现：无论道路总长假设多少，它们的计算结果都一样。

（4）讨论：为什么假设不同的数据，计算出的结果却都一样？

大胆放手让学生自主探究，不同的学生假设的长度不一样，体现了解决问题方法的多样化和开放性。再进行结果的验证和辨析，既是学生自主探究的有效方法，又让学生体验发散性思维。另外，因为学生的认知基础不同，允许验证的方法多样化，对于正确的答案都能给予肯定，让学生享受成功的喜悦。

4.建模，策略优化

（1）对比：36÷（36÷12+36÷18）=7.2（天）；

720÷（720÷12+720÷18）=7.2（天）；

请学生结合工作总量、工作效率与工作时间的关系说一说。这里的“1”指的是什么？为何用

（3）小结：这道题没有给出具体的工作总量，我们可以把工作总量看作单位“1”。用工作总量除以工作效率之和，即可求得两队合修所需的工作时间。

教师引导学生观察，发现这里的“36”“720”和“1”都表示工作总量，用工作总量除以两队的工作效率之和，即可求得两队合修所需的工作时间。

在探究过程中，引导学生发现并思考问题中工作总量的数据发生变化而计算结果不变的原因，“变中有不变”即“工作总量变了，工作时间还是不变”，引导学生分析此类工程问题的特点，充分体验解决不带具体数量的工程问题与带有具体数量的数学模型同样适用，让学生自主有效地建构模型思想。